matematikk.net

En diskret tilfeldig variabel X er binomialfordelt med parametre p = 0,3 og n = 12.

a)Finn P(X ≤ 3) og P(X > 4)

Vi antar at vi ved fiske med kastesluk høyst kan få en fisk på hvert kast og at sannsynligheten for å få fisk er den samme i alle kast. Videre antar vi at resultatene av de enkelte kastene er uavhengige.
En dag biter fisken bra, og sannsynligheten for å få fisk er da 0,3 pr. kast.

b)Hva er sannsynligheten for å få høyst 3 fisk på 12 kast?

c)Bruk normalfordelingen som tilnærmelse for å finne sannsynligheten for
å få minst 25 fisker på 100 kast.

Vi har at

(1) P(X=x) = C(n,x)*p[sup]x[/sup]*(1 - p)[sup]12-x[/sup] = C(12,x)*0,3[sup]x[/sup]*0,7[sup]12-x[/sup].

Herav følger at

a)

P(X ≤ 3) = [sigma][/sigma][sub]x=0->3[/sub] P(X=x) ≈ 49,3 %.

P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) ≈ 50,7 %.


b) La X=antall fisk på 12 kast. I så fall er P(X=x) gitt ved formelen (1). Fra oppgave a) har vi da at sjansen for å få høyst 3 fisk på 12 kast er

P(X ≤ 3) ≈ 49,3 %.


c) Vi vet at dersom X er binomisk fordelt (n,p), der n er stor og p ikke for nær 0 eller 1, er fordelingen av Z = (X - np) / kv.rot( np(1 - p) ) omtrent lik N(0,1). I dette tilfellet har vi at n=100, og p=0,3, som igjen resulterer i at

P(25 ≤ X ≤ 100)
≈ P[ (25 - 100*0,3)/kv.rot(100*0,3*0,7) ≤ Z ≤ (100 - 100*0,3)/kv.rot(100*0,3*0,7) ]
= P[ -5/[rot][/rot]21 ≤ Z ≤ 70/[rot][/rot]21)
= (1/kv.rot(2[pi][/pi]) [itgl][/itgl][sub]z= -5/[rot][/rot]21->70/[rot][/rot]21[/sub] e[sup]-z^2/2[/sup] dz
≈ 86,2 %.