matematikk.net

[itgl][/itgl][itgl][/itgl][sub]D[/sub] lnx DA, hvor D er området avgrenset av 2x+2y=5 og xy=1 i første kvadrant.

Her sliter jeg.

Du må finne de to skjæringspunktene mellom grafen til kurven funksjonene y = 5/2 - x og y = 1/x i første kvadrat. Disse finner du ved å løse likningen

5/2 - x = 1/x

x[sup]2[/sup] - 5x/2 + 1 = 0

(x - 1/2)(x - 2) = 0

x = 1/2 eller x = 2.

Dermed blir dobbeltintegralet

[itgl][/itgl][itgl][/itgl] lnx dA

=[itgl][/itgl][sub]x=1/2->2[/sub] [itgl][/itgl][sub]y=1/x->5/2-x[/sub] lnx dydx

= [itgl][/itgl][sub]x=1/2->2[/sub] [(lnx)y][sub]y=1/x->5/2-x[/sub] dx

= [itgl][/itgl][sub]x=1/2->2[/sub] (lnx)(5/2 - x - 1/x) dx

Nå er

[itgl][/itgl]lnx/x dx = (lnx)[sup]2[/sup]/2 + C[sub]1[/sub] (Bruk substitusjonen u=lnx),

[itgl][/itgl]lnx dx = x*(lnx - 1) + C[sub]2[/sub] (Bruk delvis integrasjon med u'=1 og v=lnx),

[itgl][/itgl]x*lnx dx = x[sup]2[/sup]*(2lnx - 1)/4 + C[sub]3[/sub] (Bruk delvis integrasjon med u'=x og v=lnx),

der C[sub]1[/sub], C[sub]2[/sub] og C[sub]3[/sub] er vilkårlige konstanter. Vha. av disse tre integralformlene får vi at

[itgl][/itgl][itgl][/itgl] lnx dA = [ 5x(lnx - 1)/2 - x[sup]2[/sup](2lnx - 1)/4 - (lnx)[sup]2[/sup]][sub]x=1/2->2[/sub] = (66 ln2 - 45) / 16.

Åiåiåi, takker så mye, fantastisk oversiktlig ført og forklart! Suverent.