matematikk.net

Z er en tilfeldig kontinuerlig variabel som er normalfordelt med forventning my = 0 og varians o2 = 1.

a)Finn P(Z ≤ 0,75), P(Z > -0,75) og P(-0,75 < Z ≤ 0,75).
b)Bestem k slik at P(-k < Z ≤ k) = 0,9

Her er

P(Z ≤ z) = [symbol:integral] [sub]x=-[symbol:uendelig]->z[/sub] [ e[sup]-x^2/2[/sup] / kv.rot(2[symbol:pi]) ] dx = Φ(z)

som igjen gir

P(Z > z) = 1 - Φ(z) og Φ(-z) = 1 - Φ(z). Herav følger at

a)

* P(Z ≤ 0,75) = Φ(0,75) ≈ 0,7734.
* P(Z > -0,75) = 1 - Φ(-0,75) = Φ(0,75) ≈ 0,7734.
* P(-0,75 < Z ≤ 0,75) = Φ(0,75) - Φ(-0,75) = Φ(0,75) - (1 - Φ(0,75)) = 2*Φ(0,75) - 1
≈ 2* 0,7734 - 1 = 1,5468 - 1 = 0,5468.

b) Den positive konstanten k må tilfredstille (integral)likningen

0,9 = P(-k < Z ≤ k) = 2*Φ(k) - 1,

som er ekvivalent med

Φ(k) = (1 + 0,9) / 2 = 1,9/2 = 0,95

Slår vi opp i en verditabell for N(0,1), finner vi at k ≈ 1,65.