matematikk.net

Jeg skal finne vinkelen mellom to linjer. Jeg har funnet retningsvektorene og skal ta skalarproduktet [-1,3-2]*[1,-3,3].
Det blir jo -16. Men jeg må jo ha et positivt tall siden jeg senere cos u bare kan være positiv?
Er det slik at skalarproduktet er en absoluttverdi? Hvorfor i så fall?

Skalarproduktet er definert som

[tex]\textbf{a}\cdot \textbf{b}=|\textbf{a|}|\textbf{b}|\cos\theta_{ab}][/tex]

Hvilket er dett samme som å si at

[tex]\frac{\textbf{a}\cdot \textbf{b}}{|\textbf{a|}|\textbf{b}|}=\cos\theta_{ab}[/tex]

Her har du funnet riktig skalarprodukt, -16. Nå trenger vi lengdene på vektorene som kan regnes fra [tex]|\textbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}[/tex]. Da finner vi fort at [tex]|\textbf{a}=\sqrt{14}[/tex] og [tex]|\textbf{b}|=\sqrt{19}[/tex]

Så

[tex]\cos\theta_{ab}=-\frac{16}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{19}}=-\frac{16}{\sqrt{266}}[/tex]

Dette er kalkulator-mat, som gir en vinkel på [tex]\approx 168.8^\circ[/tex].

For å svare på spørsmålet så nei, cosinus-funksjonen er ikke strengt positiv. Verdimengden, [tex]V_f[/tex] av [tex]\cos(\theta)[/tex] er [tex][-1,1][/tex]. Hvis du syns det er ubehagelig å ta invers cosinus av negative tall er det verdt å merke at [tex]\cos^{-1}(\theta)[/tex] er en odde funksjon så [tex]\cos^{-1}(-\theta)=-\cos^{-1}(\theta)[/tex].