matematikk.net

Hei,

jeg prøver å forstå sammenhengen mellom kontinuitet og deriverbarhet, men blir litt forvirret i praksis.

Hvis vi har en funksjon som er kontinuerlig i et punkt, er den da alltid deriverbar der? Eller finnes det enkle eksempler på funksjoner som er kontinuerlige, men ikke deriverbare i et punkt?

Gjerne forklar med et konkret og ikke for komplisert eksempel.

1) Dersom en funksjon skal være deriverbar i et punkt, må den også være kontinuerlig i punktet. Vi kan tenke på det slik: Hvis en funksjon plutselig "hopper" fra én verdi til en annen verdi, så er den momentane veksten "uendelig" akkurat der, og dermed ikke definert.

2) Men, det motsatte er ikke tilfelle: Dersom en funksjon er kontinuerlig i et punkt, behøver den ikke å være deriverbar i punktet. Et enkelt eksempel er følgende funksjon med delt forskrift:
$f(x) = \begin{cases}
-x, & \text{hvis } x < 0 \\
x, & \text{hvis } x \geq 0
\end{cases}
$
Denne henger sammen i bruddpunktet, men den deriverte går plutselig fra -1 til 1. Funksjonens graf får en "knekk", og akkurat i bruddpunktet hvor den har denne knekken er ikke den deriverte definert. Siden stigningstallet får en ulik verdi om du nærmer deg "knekken" fra hver side.

Som et apropos: Det finnes faktisk funksjoner som er kontinuerlige for alle reelle tall, men ikke deriverbare noe sted! (Weierstrass-funksjoner)