nøtt
Posted: 15/03-2006 19:59
La n være et naturlig tall.
Hvilke verdier kan n ha dersom n^2 +67 skal være et kvadrattall?
Hvilke verdier kan n ha dersom n^2 +67 skal være et kvadrattall?
For at n[sup]2[/sup] + 67 skal være et kvadrattall, må det finnes et naturlig tall k slik at
n[sup]2[/sup] + 67 = (n + k)[sup]2[/sup]
n[sup]2[/sup] + 67 = n[sup]2[/sup] + 2kn + k[sup]2[/sup]
2kn + k[sup]2[/sup] = 67
2n + k = 67/k
Ettersom n og k begge er naturlige tall, må 67/k også være et naturlig tall. Siden 67 er et primtall og 67/k = 2n + k ≥ 3, er eneste mulige løsning k=1, som igjen gir n=33. Så konklusjonen må bli at n[sup]2[/sup] + 67 er et kvadrattall hvis og bare hvis n=33.