matematikk.net

Bevis for alle n [tex] \epsilon [/tex] [tex]\mathcal{Z}[/tex][sup]+[/sup], n>3 [tex] \rightarrow [/tex] 2[sup]n[/sup] < n!

Hadde vært flotters om noen kunne hjulpet meg med denne, gjerne med en forklaring ved siden av

På forhånd takk:)

Mulig med induksjon?

Opplagt OK for n=4.

Anta så ok for n=k, vil vise at da ok for n=k+1
Vi har

2[sup]k[/sup]<k!

Ganger begge sider med (k+1), (k+1)>0, og får

2[sup]k[/sup](k+1)<(k+1)!

Men klart at k+1>=5, fordi minste tall det gjaldt for var k=4. da har vi

2[sup]k[/sup]*2=2[sup]k+1[/sup]<2[sup]k[/sup](k+1)<(k+1)!

For n > 3 er

2[sup]n[/sup]/n! = [(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)]*(2/5)*...*(2/n) = (2/3)*[(2/5)*...*(2/n)] < 1,

som gir 2[sup]n[/sup] < n! for n > 3.

Hei!

Takk for svaret:) Glemte å si at oppgaven skulle løses med induksjon, men ser du har gjort det:)

Solar Plexsus wrote:For n > 3 er

2[sup]n[/sup]/n! = [(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)]*(2/5)*...*(2/n) = (2/3)*[(2/5)*...*(2/n)] < 1,

som gir 2[sup]n[/sup] < n! for n > 3.

Hmm, skjønte ikke helt det du har gjort ovenfor

Poenget er at både 2[sup]n[/sup] og n! kan uttrykkes som et produkt av n faktorer:

[tex]2^n = \underbrace{2 \cdot 2 \cdots 2}_{n \mbox{ganger}} \mbox{ og } n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n - 1) \cdot n [/tex]

Dermed blir

[tex] \frac{2^n}{n!} \; = \; \frac{2 \cdot 2 \cdots 2}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n - 1) \cdot n} \; = \; \frac{2}{1} \; \cdot \; \frac{2}{2} \; \cdot \; \frac{2}{3} \; \cdots \; \frac{2}{n-1} \; \cdot \; \frac{2}{n} [/tex].

Dette betyr at når n > 4, får vi at

(1) [tex] \frac{2^n}{n!} \; = \; \Big( \frac{2}{1} \; \cdot \; \frac{2}{2} \; \cdot \; \frac{2}{3} \; \cdot \; \frac{2}{4} \Big) \cdot \Big( \frac{2}{5} \; \cdots \; \frac{2}{n} \Big) [/tex].

Det innenfor den første parantesen i (1) blir 16/24 = 2/3 mens det innenfor den andre parantesen er et produkt av brøker som alle er mindre enn 1, så produktet av dem må også bli mindre enn 1. Dermed kan vi konkudere med at

[tex] \frac{2^n}{n!} \; \leq \; \frac{2}{3} \cdot 1 \; < \; 1. [/tex]