matematikk.net

[symbol:integral] [symbol:integral] [symbol:integral] [sub]D[/sub] (3 +2xy) dV, D: x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup] =< 4 og z>=0.

Hvordan i allverden kan det bli 16 [symbol:pi].

Jeg prøvde meg med [symbol:integral][sub]-2[/sub][sup]2[/sup] [symbol:integral][sub]-2[/sub][sup]2[/sup] [symbol:integral][sub]0[/sub][sup]2[/sup] (3+2xy) dxdydz og endte opp med 96.

Hei,-

Du må passe på integrasjonsområde ditt. Det du integrerer over
er en boks, mens det du skal integrere over er ei halvkule.

Jeg foreslår at du bruker sylinderkoordinater
[tex]\int\int\int_D 3+2xy \mathrm{d}V = \int_0^2\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{4-r^2}} 3r+r^3\sin(2\theta) \mathrm{d}z\mathrm{d}\theta\mathrm{d}r=\int_0^2\int_0^{2\pi} 3r\sqrt{4-r^2}+r^3\sqrt{4-r^2}\sin(2\theta) \mathrm{d}\theta\mathrm{d}r[/tex]

Siden leddet med sinusen forsvinner under integrasjonen over theta sitter du igjen med
[tex] 6\pi\int_0^2 r\sqrt{4-r^2} \mathrm{d}r [/tex]

Bruk substitusjonen
[tex] u=4-r^2 [/tex]

så finner du [tex] \underline{\underline{16\pi}} [/tex]

Se der ja, det var noe annet. Flott!
Men hvorfor velger du sylinderkkordinater i stedet for kulekoordinater (når grensene jo er et kuleskall), hva er fordelen med det?
Kunne man også gjort det med kulekoordinater like "lett"?

Ja, jeg tenkte også på sfæriske koordinater først, men jeg syns integranden så ut til å bli litt guffen. Jeg forsøke meg derfor først med sylinderkooridnater og fikk hell med det.

Men jeg er selvsagt enig med deg i at grensene blir enklere med sfæriske koord. Du kan jo forsøke, det ligger hvertfall ikke noen dype tanker bak mitt valg av sylinderkoordinater fremfor sfæriske.