matematikk.net

Find sum or show that it diverges.

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} n^{-1/2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{\sqrt{n}} = {\infty} [/tex]

Er det der rett, i så fall, er det gjort for lettvint? Oppgaven var et stykke ut i kapitlet, så tror den skal være litt vanskeligere.

PS, hva er tex-koden for 1/2?

Du har jo ikke "bevist" annet enn at n[sup]-1/2[/sup] = 1/ [symbol:rot]n. En enkel måte å vise at denne rekken divergerer, er å anvende ulikheten 1/[symbol:rot]n ≥ 1/n som gjelder for alle naturlige tall n. Denne ulikheten medfører at

(1) [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \; \geq \; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} [/tex].

Rekke på høyre side av "≥"-tegnet i (1) er den velkjente harmoniske rekken. Den er divergent, og dette faktum i kombinasjon med (1) gir at rekken [symbol:sum] [sub]n≥1[/sub] 1/ [symbol:rot] n er divergent.

PS. TeX-koden for 1/2 er \frac{1}{2}.