matematikk.net

Jeg ble usikker på en oppgave nå, det gjelder om matrisen A er diagonaliserbar.

A =
4 0 1
2 3 2
1 0 4

Den har jo to egenverdier, 3 og 5. Da sier et teorem at dersom den ikke har 3 egenverdier (siden den er en 3x3 matrise) så er den ikke diagonaliserbar.
Men den har jo tre egenvektorer og de karakteristiske matrisene har rang 1 og 2, til sammen 3. Hvordan blir dette?

Hvordan er TeX-koden for en matrise? Ble bare kluss da jeg prøvde.

Det såkalte "teoremet" du viser, er galt! Det er nemlig slik at dersom en nxn-matrise A har n distinkte egenverdier, er A diagonaliserbar. Men det motsatte implikasjonen gjelder ikke! Et enkelt eksempel på dette er A=kI, der k er en konstant forskjellig fra 0 og I er nxn-identitetsmatrisa. Denne har kun egenverdien k, men er diagonaliserbar ettersom

I[sup]-1[/sup] A I = I A I = A.

Den 3x3-matrisa A du nevner, er et annet eksempel. Du får nemlig at A har 3 lineært uavhengige egenvektorer. Dette er nødvendig og tilstrekkelig til å konkludere med at A er diagonaliserbar. Det følger nemlig av følgende ekvivalens: En nxn-matrise A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.