matematikk.net

Man setter inn 12 000 kr annet hvert år i banken. Årlig rente er 7 %. Hva står på kontoen når det 7. beløpet er satt inn.

Kunne noen tenke seg å forklare?

Takk:)

La K[sub]n[/sub] være antall kroner man har på kontoen umiddelbart etter innskudd nummer n på 12000 er satt inn i banken. Da blir

K[sub]1[/sub] = 12000.

Etter 2 år har de 12000 kronene gitt 12000*0,07[sup]2[/sup] kroner i renter, hvilket betyr at

K[sub]2[/sub] = 12000 + 12000*1,07[sup]2[/sup]

Disse pengene gir (12000 + 12000*1,07[sup]2[/sup])*1,07[sup]2[/sup] i renter, så

K[sub]3[/sub] = 12000 + 12000*1,07[sup]2[/sup] + 12000*1,07[sup]4[/sup].

Vi ser at

K[sub]n[/sub] = 12000 + K[sub]n-1[/sub]*1,07[sup]2[/sup]

for alle n>1. Denne rekursive formelen gir

K[sub]n[/sub] = 120000(1 + k + k[sup]2[/sup] + ... + k[sup]n-1[/sup])

der k = 1,07[sup]2[/sup]. Ergo blir

K[sub]n[/sub] = 12000(k[sup]n[/sup] - 1) / (k - 1) = 12000(1,07[sup]2n[/sup] - 1) / (1,07[sup]2[/sup] - 1) = 12000(1,07[sup]2n[/sup] - 1)/0,1449.

Vha. av denne formelen får vi at når umiddelbart etter det 7. beløpet er satt inn, vil det på kontoen stå

K[sub]7[/sub] = 12000(1,07[sup]14[/sup] - 1)/0,1449 [symbol:tilnaermet] 130727

kroner.

Fasitsvaret er visst 103 848 kr ... mmm.

Setter du n=6 i formelen for K[sub]n[/sub], får du fasitsvaret. Så det må være feil, noe følgende enkle resonnement også viser: Beløpet K[sub]7[/sub] må være større enn 7*12000 pluss renteinntektene av det første innskuddet på 12000 kroner som har forrentet seg i 12 år. Altså er

K[sub]7[/sub] > 7*12000 + 12000*1,07[sup]12[/sup] [symbol:tilnaermet] 111000.