matematikk.net

Funksjonen [symbol:funksjon] er gitt ved

[symbol:funksjon] (x) = (ln x) / x


1) Finn ved regning maksimalpunktet til [symbol:funksjon]
2) Bestem integralet ved regning


[symbol:integral] fra 1 til e [symbol:funksjon] (x) dx

a) f'(x) = [lnx / x]' = [(lnx)'*x - (lnx)*(x)'] / x[sup]2[/sup] = [(1/x)*x - (lnx)*1] / x[sup]2[/sup] = (1 - lnx) / x[sup]2[/sup].

Vha. av fortegnsskjema ser man at (e, f(e)) = (e, lne/e) = (e, 1/e) er et maksimalpunkt for f.


b) Substitusjonen u = lnx gir du/dx = 1/x og dx = x du, som igjen medfører at

[tex]\int_1^e \frac{lnx}{x} \: dx \;=\; \int_{ln1}^{lne} \frac{u}{x} \: x \, du \;=\; \int_0^1 u \, du \;=\; \Big[\frac{1}{2}u^2\Big]_0^1 \;=\; \frac{1}{2}\,.[/tex]