matematikk.net

x = F( s, f(s), g(s,t) )

kan noen fortelle mig hvordan jeg finner
utrykket for
den deriverte av x m.h.p s og den deriverte av x m.h.p t ?

:epsilon

Her er X = F(u(s,t), v(s,t), w(s,t)) = F(u,v,w) der u(s,t) = s, v(s,t) = f(s) og w(s,t) = g(s,t). Ifølge den generelle kjerneregelen for derivasjon er

(1) [symbol:diff]X/[symbol:diff]s = ([symbol:diff]X/[symbol:diff]u)*([symbol:diff]u/[symbol:diff]s) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]v)*([symbol:diff]v/[symbol:diff]s) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*([symbol:diff]w/[symbol:diff]s).

Nå er [symbol:diff]u/[symbol:diff]s = 1, [symbol:diff]v/[symbol:diff]s = f '(s) og [symbol:diff]w/[symbol:diff]s = g[sub]s[/sub](s,t). Dette i kombinasjon med (1) gir

[symbol:diff]X/[symbol:diff]s = [symbol:diff]X/[symbol:diff]u + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]v)*f '(s) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*g[sub]s[/sub](s,t).

Likeledes blir

[symbol:diff]X/[symbol:diff]t

= ([symbol:diff]X/[symbol:diff]u)*([symbol:diff]u/[symbol:diff]t) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]v)*([symbol:diff]v/[symbol:diff]t) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*([symbol:diff]w/[symbol:diff]t)

= ([symbol:diff]X/[symbol:diff]u)*0 + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]v)*0 + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*g[sub]t[/sub](s,t)

= ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*g[sub]t[/sub](s,t).