matematikk.net

Jeg lurte litt på hvordan man løser denne oppgaven, fra en Amerikansk lærebok. Dette er for 1MX.

Jeg siterer:

"Volcanic eruptions can be dated by analyzing the potassium and argon contents of rock from the eruption. Most rocks contain potassium (K), 0,012 of which is K-40, a radioactive isotope that decays to Ar-40 (argon) with a half-life of 1,3*10^9 years. Since argon is an inert gas, it is likely that all of the argon in the rock originates from the decay of K-40. Suppose that a test of rock shows that the ratio of the number of non-decayed K-40 and Ar-40 isotpoes is to be 10 : 1.

When did the eruption take place?"

På forhånd takk.

Anta at under utbruddet er det en mengde [tex]k[/tex] av K-40. For å gjøre formelen litt enklere, la [tex]T=1,3*10^9[/tex] være halveringstiden.

Etter [tex]n[/tex] år vil det da mengden av K-40 være [tex]k_n = k\left(\frac{1}{2}\right)^{n/T}[/tex], dette er fra definisjonen av halveringstid.

Argon-massen vil være [tex]a_n = k - k_n[/tex], dvs. alt K-40 som er blitt borte.

Vi får oppgitt at forholdet [tex]\frac{k_n}{a_n} = 10[/tex] og skal altså finne [tex]n[/tex].

Så vi setter i gang å forenkle litt:

[tex]\frac{k_n}{a_n} = \frac{k_n}{k-k_n} = 10.[/tex]

Fra siste ligning får vi

[tex]k_n = 10(k-k_n)[/tex]

som gir

[tex]11k_n = 10 k[/tex]

Så setter vi inn for [tex]k_n[/tex]:

[tex] 11k\left(\frac{1}{2}\right)^{n/T} = 10k[/tex]

Vi forkorter bort [tex]k[/tex] og får:

[tex]11\left(\frac12\right)^{n/T} = 10[/tex]

tar logaritmen på begge sider:

[tex]\log(11) + \frac nT\log\frac12 = \log 10[/tex]

Så flytter vi over for å finne [tex]n[/tex]:

[tex]n = \frac{T(\log(10) - \log(11))}{\log\frac12}[/tex]

Så kan vi sette inn for [tex]T[/tex] og taste litt på kalkulatoren.

Thank you