matematikk.net

Vi tenker oss at posisjonen til to båter A og B er gitt ved parameterfremstilligen

A: x = 8t B: x = 4t + 60
y = 12 t y = -4t + 200

Parameteren t er tiden målt i sekunder. Koordinatene x og y er gitt målt i meter.


a) Bestem avstanden mellom båtene ved tiden t = 0

b) Tegn kursen til hver av båtene inn i et koordinatsystem for t = [0,30]

c) Vis ved regning at båtene ikke vil kollidere

Av sikkerhetsgrunner må avstanden mellom båtene hele tiden være større enn 10 meter.


d) Undersøk om dette er tilfelle.

a) Når t=0, befinner båtene seg i posisjonene A = (0,0) og B = (60,200). Så avstanden mellom båtene ved tidspunktet t=0 er

kv.rot(60[sup]2[/sup] + 200[sup]2[/sup]) = kv.rot(3600 + 40000) = kv.rot(43600) = 20[symbol:rot]109 [symbol:tilnaermet] 209

meter.


c) For at båtene skal kollidere, må det finnes en t≥0 slik at A = (8t, 12t) = (4t+60, -4t+200) = B. Altså er 8t = 4t + 60 og 12t = -4t + 200, så t = 60/4 = 15 og t = 200/16 = 12,5. Denne selvmotsigelsen innebærer at båtene ikke vil kollidere.


d) Avstanden d i meter mellom båtene ved tiden t er gitt ved formelen

d[sup]2[/sup]
= [(4t + 60) - 8t][sup]2[/sup] + [(-4t + 200) - 12t][sup]2[/sup]
= (60 - 4t)[sup]2[/sup] + (200 - 16t)[sup]2[/sup]
= 3600 - 480t + 16t[sup]2[/sup] + 40000 - 6400t + 256t[sup]2[/sup]
= 272t[sup]2[/sup] - 6880t + 43600
= 272(t[sup]2[/sup] - 430t/17 + 2725/17)
= 272[(t - 215/17)[sup]2[/sup] + (10/17)[sup]2[/sup]].

Herav følger at den minste avstanden mellom båtene blir 10*kv.rot(272)/17 [symbol:tilnaermet] 9,7 meter.

Hva er det du gjør i oppgave d) når du går fra

272(t2 - 430t/17 + 2725/17) til
272[(t - 215/17)^2 + (10/17)^2]?