matematikk.net

Ok, find the flux F = [x,y,z] upward through the part of the surface z = a - x[sup]2[/sup] - y[sup]2[/sup] lying above the plane z = b, where b>a.

[symbol:integral][sub]S[/sub] [symbol:integral] F*dS

Jeg parametriserer først,
x= r*cost
y = r*sint
z = a - r[sup]2[/sup]

Deretter regner jeg ut dS = n*ds = (dr/du x dr/du) du dv, denne får jeg til å bli [2r[sup]2[/sup]cos[sup]2[/sup]t, 2r[sup]2[/sup]sin[sup]2[/sup]t,r]
Ganger denne med F og ender opp med å integrere 2r[sup]3[/sup]+ar-r[sup]3[/sup].

Siden fasitsvaret er [symbol:pi](3a[sup]2[/sup]-4ab+b[sup]2[/sup])/2, må jeg allerede her ha gjort noe feil, men hva?

Dersom (en del av) flaten z = a - x[sup]2[/sup] - y[sup]2[/sup] skal ligge over planet z = b, må jo b < a (ikke b > a som du skriver). Så parametriseringen av z skal nok være

z = a - b - r[sup]2[/sup].

Hm, ja. Men jeg har alikevel et problem til, F*dS blir da
[r*cost, r*sint, a-b-r[sup]2[/sup]]*[2r[sup]2[/sup]cos[sup]2[/sup]t,2r[sup]2[/sup]sin[sup]2[/sup]t,r] = [2r[sup]3[/sup]cos[sup]3[/sup]t+2r[sup]3[/sup]sin[sup]3[/sup]t+ar-br-r[sup]3[/sup]]
som skal integreres, kan jeg omskrive det til noe lettere?

Holder fortsatt på med denne, prøver igjen å forklare problemet mitt.

[tex]\int_S \int F*dS[/tex]

Siden S, som er surface equation, på formen z=f(x,y) kan vi bruke at:

dS = [tex][- \frac{dz}{dx},-\frac{dz}{dy},1] \ dx*dy[/tex], hvor "d" partiell derivert (kan ikke koden for det i tex).

Det gir meg dS = [2x,2y,1] dx dy
F*dS = 2x[sup]2[/sup] + 2y[sup]2[/sup] +z dx dy

[tex]\int_S \int F*dS \ = \ \int_S \int 2x^2 + 2y^2 +z \ dx \ dy [/tex]

Hva gjør jeg så?

Bump!