matematikk.net

Find the smallest integer n that ensures that the partial sum Sn, approximates the sum S of the series with error less than 0,001 in absolute value

[tex]\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}[/tex]

Boka gir inget eksempel på dette, men presenterer teoremet |S - Sn| < |a[sub]n+1[/sub]|, så jeg er ikke helt med.

"<" skal være større eller lik.

Om det er til noe hjelp:

[tex]\sum_{n=1}^{10}\ (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}=0.22252068599243[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^{100}\ (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}=0.26463599391075[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^{1000}\ (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}=0.26911075320712[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^{10000}\ (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}=0.26956050520857[/tex]

Kalkulert med v-200

Kan ikke si at det satt meg på sporet nei.

Du må bruke det teoremet du nevner, dvs.

(1) |S - S[sub]n[/sub]| ≤ |a[sub]n+1[/sub]|

For hvis

(2) |a[sub]n+1[/sub]| ≤ 0,001,

følger det av (1) at

(3) |S - S[sub]n[/sub]| ≤ 0,001.

Ulikheten (2) er ekvivalent med

(n+1) / [(n+1)[sup]2[/sup] + 1] ≤ 1/1000

1000*(n + 1) ≤ (n+1)[sup]2[/sup] + 1

1000n + 1000 ≤ n[sup]2[/sup] + 2n + 2

n(n - 998) ≥ 998

n ≥ 999.

Så svaret på oppgaven blir n = 999.

Jepp, jeg klarte det faktisk selv, men jeg bare prøvde meg frem med n-verdier da, mer elegant og rett den måten der.

Har nå et annet spørsmål, skal "determine the values of x for which the serie converge abs., -condit. or diverge.

[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{2^n ln(n)}[/tex]

Bruker her forholdstesten,

[tex]\rho = \lim_{n \rightarrow \infty}\ \frac{x^{n+1} \ 2^n \ ln(n)}{x^n \ 2^{n+1} \ ln(n+1)} = \lim_{n \rightarrow \infty} |x| \ \frac{ln(n)}{2ln(n+1)}[/tex]

Hva gjør jeg egentlig nå, er det feil?

Neida, jeg er nok på rett spor, mener å ha fått det til nå.

Fant ut at det var absolutt konvergens for -2 < x < 2, men må sjekke for x = [symbol:plussminus]2.

For x=2 fant jeg greit ut at det ble divergens (sammenliknet 1/ln(n) med 1/n), men for x=-2 vet jeg ikke, står med en rekke jeg ikke får til å vurdere om divergerer eller konvergerer.

[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{(-2)^n}{2^n \ ln(n)}[/tex]

Vil gjerne ha hjelp til å vurdere om rekken ovenfor konvergerer.

se om absoluttverdien av rekken har alle ledd over 0
om den er minkende
og om da også lim (1/ln n) = 0 (når n går mot [tex]\infty [/tex])

da vil du se at den konvergerer betinget

Hvorfor absoluttverdien, i boka mi står det ikke det, står bare a[sub]n[/sub]>(eller lik)0, for n=1, 2, 3..

jepp er nok riktig det, å ta absoluttverdien funker i dette tilfellet da, men er nok ikke den generelle regelen ...

egentlig er det vel noe som at dersom testene gjelder for an
så har en rekke med [tex](-1)^{n-1}[/tex] an betinget konvergens

men absoluttverdien til [tex]\sum_{n=2}^{\infty} \: \frac{(-2)^n}{2^n ln(n)}[/tex]

blir da rekken [tex]\sum_{n=2}^{\infty} \: \frac{2^n}{2^n ln(n)}[/tex]

som du må teste at an > 0 for alle n i denne rekken og alt det andre.
tror hvertfall det skal være riktig...