matematikk.net

True or false, justify your answer.

1) If [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] converges, then [tex]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ a_n[/tex] converges.

2) If [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] converges and [tex]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ a_n[/tex] converges, then [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] converges absolutely.

3) If [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] converges absolutely, then [tex]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ a_n[/tex] converges absolutely.

Kunne trengt hjelp her.

RE: Your question, what are the criteria for absolute convergence?

Or, what is the definition of "absolute convergence"?

TTT

1) Utsagnet er usant. Moteksempel: [symbol:sum][sub]n>0[/sub]a[sub]n[/sub] med a[sub]n[/sub] = (-1)[sup]n[/sup]/n.

2) Utsagnet er usant. Moteksempel: Rekkene [symbol:sum][sub]n>0[/sub]a[sub]n[/sub] og [symbol:sum][sub]n>0[/sub](-1)[sup]n[/sup]*a[sub]n[/sub] der a[sub]4n-3[/sub] = a[sub]4n-2[/sub] = 1/n og a[sub]4n-1[/sub] = a[sub]4n[/sub] = -1/n for alle naturlige tall n, er begge konvergente. Derimot er rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub]|a[sub]n[/sub]| divergent.

3) Utsagnet er sant. Dette følger direkte av definisjonen av absolutt konvergens og det faktum at |(-1)[sup]n[/sup]a[sub]n[/sub]| = |a[sub]n[/sub]|.