En matrises invers og den karakteristiske likningen
Posted: 24/04-2006 12:01
Noen som har noen forslag til hva som kan være sammenhengen mellom en matrises inverse, og dens karakteristiske likning?
Anta at M er en kvadratisk invertibel nxn-matrise med karakteristisk likning
λ[sup]n[/sup] + c[sub]n-1[/sub]*λ[sup]n-1[/sup] + ... + c[sub]1[/sub]*λ + c[sub]0[/sub] = 0.
Ifølge Cayley-Hamilton-setningen er
(1) M[sup]n[/sup] + c[sub]n-1[/sub]*M[sup]n-1[/sup] + ... + c[sub]1[/sub]*M + c[sub]0[/sub]*I = 0,
der I og 0 er hhv. identitets- og nullmatrisa av dimensjon nxn. Ved å multiplisere (1) med M[sup]-n[/sup], blir resultatet
I + c[sub]n-1[/sub]*M[sup]-1[/sup] + ... + c[sub]1[/sub]*(M[sup]-1[/sup])[sup]n-1[/sup] + c[sub]0[/sub]*(M[sup]-1[/sup])[sup]n[/sup] = 0.