matematikk.net

Sitter med en vanskelig oppgave her, tenkte jeg kunne høre om noen hadde noen tips.

Determine the interval of convergence and sum,

[tex]\frac{1}{3} + \frac{x}{4} + \frac{x^2}{5} + \frac{x^3}{6} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n+3}[/tex]

[tex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^n}{n+3} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {1}{n+3} \: x^n[/tex]

senteret = 0

L =[tex] \lim_{ n \to \infty} \: \frac {a_{n+1}}{a_n} = \lim_{ n \to \infty} \: \frac {n+3}{n+4} = 1 [/tex]

radius R = 1 / L = 1 , og siden senter er 0 er intervallet ]-1,1[

summen av den er noe dritt da.... mye å skrive, men kan ta det første er sikkert eksempler i boken for resten. Eg er ikke helt sikker på om dette er riktig , eller om eg kan "lovlig" gjøre disse tingene heh...

[tex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^n}{n+3} \: = \:\sum_{n=2}^{\infty} \frac {x^{n-2}}{n+1} \: = \: \sum_{n=2}^{\infty} \frac {x^{n+1}}{x^3 (n+1)} \: = \: \frac{1}{x^3} \sum_{n=2}^{\infty} \frac {x^{n+1}}{n+1} \: = \: \frac{1}{x^3}( \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^{n+1}}{n+1} - x - \frac{x^2}{2}) [/tex]

om det er noe feil så gi ett ord

Når det gjelder summen så vet jeg ikke jeg altså, vanskelige greier. Kanskje det er andre her inne som har enda mer peiling? Tror nok du er på rett spor.

[tex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \: \int_{0}^{x} t^n dt [/tex]

og siden:

[tex] \sum_{n=0}^{\infty} \: t^n = \frac{1}{1-t} [/tex]

er

[tex]\sum_{n=0}^{\infty} \: \int_{0}^{x} t^n dt = \int_{0}^{x} \frac{1}{1-t} dt = - ln(1-x) [/tex]

[tex] \frac{1}{x^3} (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} \: - x - \frac{x^2}{2}) = - \frac{ln(1-x)}{x^3} \: - \frac{1}{x^2} \: - \frac{1}{2x} [/tex]

det er resten eg gjorde , tror det skal være riktig