matematikk.net

Jeg skal finne maks- og minverdien til f(x,y) = x[sup]2[/sup] + 4y[sup]2[/sup] - 2x + 6, på området (x/2)[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] _< 1.

Jeg fikk her at lambda bare kunne være 0 for at likningene jeg satt opp kunne stemmer, og da fulgte det at jeg bare fikk ett punkt, nemlig (1,0), kan det stemme, hvordan klassifiserer jeg dette?

Her trenger du ikke bruke Lagrange. Her har du at

(1) f(x,y) = x[sup]2[/sup] + 4y[sup]2[/sup] - 2x + 6

der

(2) (x/2)[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] ≤ 1.

Legg merke til at (2) er ekvivalent med

x[sup]2[/sup] + 4y[sup]2[/sup] ≤ 4,

som i kombinasjon med (1) gir

f(x,y) ≤ 4 - 2x + 6 = 10 - 2x.

Av ulikheten (2) ser vi at |x| ≤ 2, så

f(x,y) ≤ 10 - 2x ≤ 10 - 2*(-2) = 10 + 4 = 14.

M.a.o. er f(x,y)[sub]max[/sub] = 14 når (x,y) = (-2,0).

Videre har vi at

f(x,y) = (x - 1)[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + 5.

Altså er f(x,y) ≥ 5 med likhet kun når (x,y) = (1,0). Vi observerer at dette tallparet tilfredsstiller ulikheten (2). Dermed kan vi konkludere med at f(x,y)[sub]min[/sub] = 5 når (x,y) = (1,0).

Takk!