matematikk.net

Slik lyder oppgave:

I ei kjegle er radien i grunnflaten 42,2 cm, og høyden er 92,1 cm. Inne i kjeglen er det plassert en pyramide med kvadratisk grunnflate. Pyramiden er så stor som mulig.

a) Hvor lang er siden i grunnflaten til pyramiden.

b) Hvor stort er volumet av pyramiden?

Mange takk

a) Grunnflaten i pyramiden er et kvadrat med sider av lengde s cm. Diagonalen i dette kvadratet har samme lengde som diameteren til kjeglens grunnflate, altså 2*42,2 = 84,4 cm. Pytagoras' setning gir

s[sup]2[/sup] + s[sup]2[/sup] = 84,4[sup]2[/sup]

2s[sup]2[/sup] = 84,4[sup]2[/sup]

s = [tex]\sqrt{84,4^2/2}[/tex]

s = 42,2[symbol:rot]2.

s [symbol:tilnaermet] 59,7.


b) La h være høyden av pyramiden målt i cm. Volumet V av pyramiden er V = s[sup]2[/sup]*h/3 = 2*42,2[sup]2[/sup]h/3 = 3561,68h/3. Så for at pyarmiden skal få maksimalt volum, må h velges størst mulig. M.a.o. må h være lik høyden i kjeglen, dvs. at h = 92,1. Dermed blir

V = 3561,68*92,1/3

V = 109343,576

V [symbol:tilnaermet] 109000.

Så volumet av pyramiden er omtrent 109000 cm[sup]3[/sup] = 109 dm[sup]3[/sup] = 109 liter.

Takk så meget for svar, men du har glemt å dele på tre i formelen for volum?

Når det gjelder utregningen av siden vha pytagoras, skjønner jeg ikke helt tankegangen.
Hvordan går 2s2 = 84,42 over til
s = (kvadratrot) 84,42 /2 (kvadratrot) ?

* Volumet av en pyramide er naturligvis G*h/3. Har rettet opp feilen nå.

* Når det gjelder utrekningen av s, har vi at

2s[sup]2[/sup] = 84,4[sup]2[/sup] = (2*42,2)[sup]2[/sup] = 2[sup]2[/sup]*42,2[sup]2[/sup]

s[sup]2[/sup] = 2*42,2[sup]2[/sup]

[tex]s \;=\; \sqrt{2 \cdot 42,2^2} \;=\; \sqrt{2} \cdot \sqrt{42,2^2} \;=\; 42,2 \, \sqrt{2}\,.[/tex]