matematikk.net

Har to bevis jeg lurer på:

1) Prove that if u and v are vectors in a complex inner product space, then |<u,v>| _< <u,u><v,v>

2) Prove that the entries on the main diagonal of a Hermitian matrix are real numbers.

1) Dette er Cauchy-Schwarz' ulikhet for komplekse indreproduktrom. Et (kortfattet) bevis finner du ved å klikke på lenken

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarz_inequality


2) Anta at d er et element på hoveddiagonalen til en hermitisk matrise A. Da er A = A*, der A* er matrisen som fremkommer ved å transponere og konjungere elementene i A. Transponering har ingen innvirkning på hoveddiagonalen, så A = A* innebærer at

[tex]d \:=\: \overline{d}[/tex]

Re(d) + Im(d) = Re(d) - Im(d)

Im(d) = 0

[tex]d \in {\bf R}. \;\;[/tex] q.e.d.