matematikk.net

[tex]\int_0^1 \int_{x^{1/3}}^1 \sqrt{1-y^4} dy dx[/tex].

Dette integralet løses lett ved å bytte integrasjonsrekkefølgen:

[tex]\int_0^1 \: \int_{x^{1/3}}^1 \: \sqrt{1 \:-\: y^4} \: dy\,dx[/tex]

[tex]=\; \int_0^1 \: \int_0^{y^3} \: \sqrt{1 \:-\: y^4} \: dx\,dy[/tex]

[tex]=\; \int_0^1 \: \Big[\, x \, \sqrt{1 \:-\: y^4} \, \Big]_0^{y^3} \,dy [/tex]

[tex]=\; \int_0^1 \: y^3 \, \sqrt{1 \:-\: y^4} \,dy [/tex]

[tex]=\; \int_1^0 \: -\frac{u^2}{2} \,du\;\;[/tex] (Anvender substitusjonen [tex]u = \sqrt{1 \:-\: y^4}[/tex] )

[tex]= \; \Big[ \, -\frac{u^3}{6} \, \Big]_1^0\;\;[/tex]

[tex]=\; \underline{\underline{\frac{1}{6}}}\,. [/tex]