matematikk.net

Hjelp
Kan noen hjelpe meg med oppgave c og d?

La funksjonen f være gitt ved at f(x)=x^3 - 9x^2 - 22x -12.

a) Utfør polynomdivisjonen f(x) : (x +1)
b) Finn nullpunktene til f og drøft fortegnet til f(x)
c) Finn eventuelle maksimums- og minimumspunkter til f, og bestem når f
er voksende og når f er avtagende
d) Finn likningen for vendetangenten

c) Topp- og bunnpunktene til f finner du ved å derivere f(x) og løse likningen f'(x) = 0. I dette tilfellet er

(1) f'(x) = 3x[sup]2[/sup] - 18x - 22.

Likningen f'(x) = 0 har løsningene

[tex]x \;=\; 3 \: \pm \: \frac{7}{\sqrt{3}}[/tex].

Vha. av et fortegnsskjema for f'(x) ser vi at:

* f er voksende i [tex](<-, \, 3 \:-\: \frac{7}{\sqrt{3}}) [/tex] U [tex] (3 \:+\: \frac{7}{\sqrt{3}},\:->)[/tex].

* f er avtagende i [tex](3 \:-\: \frac{7}{\sqrt{3}}, \: 3 \:+\: \frac{7}{\sqrt{3}})[/tex].

* f har et maksimalpunkt for [tex] x = 3 \:-\: \frac{7}{\sqrt{3}}[/tex].

* f har et minimalpunkt for [tex] x = 3 \:+\: \frac{7}{\sqrt{3}}[/tex].


d) Deriverer vi ennå en gang, får vi at

f''(x) = 6x - 18 = 6(x - 3).

Altså har f et vendepunkt i (3,f(3)) = (3,-132). Av (1) får vi at vendetangenten i dette punktet har stigningstall

f'(3) = 3*3[sup]2[/sup] - 18*3 - 22 = 3*9 - 54 - 22 = 27 - 76 = -49.

Dermed blir likningen for vendetangenten

y - f(3) = f'(3)(x - 3)

y - (-132) = -49(x - 3)

y + 132 = -49x + 147

y = -49x + 147 - 132

y = -49x + 15.