Ulikheter

[Guest]

Heisann,

Kan noen vise meg hvordan jeg løser disse ulikhetene?
Jeg trenger å se alle mellomregningene også...
Håper noen kan hjelpe meg... Har eksamen på mandag....

1. x^2-5x+4<0

2. 1 delt på x-1 >x


Og så har jeg en likning som jeg trenger hjelp til....

3. e^3x(x^2-4) = 0


Tusen takk for hjelp

[Andrina]

1. x^2-5x+4<0

Ser at x^2-5x+4 beskriver en parabel som er "åpnet oppe". Finner nullpunktene til parabelen:

x^2-5x+4=0 er en annengradslikning med løsninger

x=1 og x=4 (bruk formelen for en annengradslikning)

Dermed er x^2-5x+4<0 når x ligger i det åpne intervallet (1,4).

2. 1/(x-1) > x

Skal gange med x-1 på begge sider. Må da betrakte
x-1>0 og x-1<0

a)x-1>0:
1>x(x-1)
1>x^2-x
x^2-x-1<0

Ser også her på nullpunktene til parabelen x^2-x-1:

x^2-x-1=0 har løsningene

x=1/2+kv.rot(5)/2=(1+kv.rot(5))/2

og x=(1-kv.rot(5))/2

Siden også denne parabelen er "åpnet oppe", så er
x^2-x-1<0 når x ligger i det åpne intervallet
((1-kv.rot(5))/2,(1+kv.rot(5))/2).
Men her må vi i tillegg huske at vi antok at x-1>0, dvs. x>1.
Siden (1-kv.rot(5))/2<1, må nedere grense være 1.
Og vi sjekker at (1+kv.rot(5))/2>1, så vi får det åpne intervallet (1,(1+kv.rot(5))/2) som løsning.

b) x-1<0
1<x(x-1)
1<x^2-x
x^2-x-1>0

Får samme løsninger her for x^2-x-1=0 som i a)

Men nå må vi betrakte når denne parabelen antar positive verdier.
I utgangspunktet er det da når x ligger enten i
(-uendelig,(1-kv.rot(5))/2) eller i
((1+kv.rot(5))/2,+uendelig).
Men her har vi nå at x-1<0, altså at x<1, så vi får bare det første åpne intervallet som løsning:
(-uendelig, (1-kv.rot(5))/2).

[Andrina]

e^(3x)*(x^2-4)=0
Et produkt er lik 0 når (minst) en av faktorene er lik 0.

altså e^3x=0
eller x^2-4=0

Men e^3x er aldri 0, så da må vi ha x^2-4=0, dvs. x=2
eller x=-2

[Solar Plexsus]

Denne ulikheten kan løses mye enklere på følgende måte:

[tex]\frac{1}{x \:-\: 1} \;>\; x[/tex]

[tex]x \;-\; \frac{1}{x \:-\: 1} \;<\; 0[/tex]

[tex]\frac{x(x \:-\: 1) \:-\: 1}{x \:-\: 1} \;<\; 0[/tex]

[tex]\frac{x^2 \:-\: x \:-\: 1}{x \:-\: 1} \;<\; 0[/tex]

[tex]\frac{\Big(x \:-\: \frac{1 \,-\, \sqrt{5}}{2} \Big) \Big(x \:-\: \frac{1 \,+\, \sqrt{5}}{2}\Big)}{x \:-\: 1} \;<\; 0[/tex]

Ved å lage et fortegnsskjema for dette funksjonsuttrykket, finner du at ulikheten har løsningen

x ε (<-, (1 - [symbol:rot]5)/2) U (1, (1 + [symbol:rot]5)/2).