matematikk.net

To steder, A og B, går sammen om å bygge et renseanlegg for kloakk. Det skal bygges en pumpestasjon i D som ligger på den rette linjen mellom A og B. Vannet fra renseprosessen skal pumpes ut i fjorden i et rør til C. Punktene A, B og C har følgende koordinater: A(-3,1), B(2,-2) og C(3,1). Det sjak et rør mellom C og D.

Bestem koordinatene til D når vektor |CD| er kortest mulig.

Et ejsanebhefte jeg har gir følgende løsningsforslag:

[x -3, y -1] * [5, -3] = 0

5x - 15 - 3y + 3 = 0

Siden AD = t * [t, -3] og AD = [x+3, y -1], får vi

x + 3 = 5t -> x = 5t -3
y - 1 = -3t -> y = -3t +1

Hvorfor blir det (x + 3), og ikke (x-3)?

innsatt i (1):

5(5t - 3) - 15 - 3(-3t + 1) = 0
25t - 15 -15 + 9t - 3 + 3 = 0

t = 30/34

Altså:

x = 5 * (30/34) - 3 = 1.41
y = -3 * (30/34) + 1 = -1.65

Punktet D får koordinatene (1,41, - 1.65)

Har løsningsforfatter gjort en feil ved å gå over fra x - 3 til x+3, eller det bare jeg som ikke forstår løsningen?

gå til websiden: geonext.de
og last ned tegneprogrammet.
Det er relativt enkelt å ta i bruk.

Du vil finne at oppgaver som dette er artige å løse med dataverktøyet
Knut

Løsningsforslaget er korrekt. Du blander nok sammen vektorene CD og AD. Ved å sette D=(x,y), får vi nemlig at

CD = [x - 3, y - 1] og

AD = [x + 3, y - 1].

Nå er CD*AB = 0, som gir den likningen

(1) 5(x - 3) - 3(y - 1) = 0

mens det faktum at AD = t*AB (her skriver du riktignok at AD = t*[t,-3] som jeg regner med er en slurvefeil fra din side) gir likningssystemet

[x + 3, y - 1] = t*[5,-3], i.e.

x + 3 = 5t & y - 1 = -3t,

som innsatt i (1) gir

5(5t - 6) - 3*(-3t) = 0

25t - 30 + 9t = 0

34t = 30

t = 30/34 = 15/17.