matematikk.net

Hei! Kan noen hjelpe meg med denne?

[symbol:sum] n=0 til [symbol:uendelig] av ((n+1)/2^(n+1))*x^n. Hva er denne summen for x e ]-2,2[ ?

PS! I tilfellet det snek seg inn noe parentes-tull:

Summen fra n=0 til uendelig av (n+1) delt på (2^(n+1)), alt ganget med x^n der -2<x<2

Her har du gitt rekken

[tex]S(x) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \; \frac{n+1}{2^{n+1}} \, x^n \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2}\,(\frac{x}{2})^n.[/tex]

der |x| < 2. Ved å integrere får vi at

[tex]\int S(x) dx \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \int \frac{n+1}{2} \, (\frac{x}{2})^n \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^{n+1} \;=\; \frac{x/2}{1 \:-\: x/2} \;=\; \frac{x}{2 \:-\: x}\:.[/tex]

Derivasjon gir

[tex]S(x) \;=\;( \frac{x}{2 \:-\: x})^, \;=\; \frac{(x)^,*(2 \:-\: x) \:-\: x*(2 \:-\: x)^,}{(2 \:-\: x)^2} \;=\; \frac{2 \:-\: x \:+\: x}{(2 \:-\: x)^2} \;=\; \frac{2}{(2 \:-\: x)^2}\:.[/tex]