matematikk.net

Hei folkens,

For noen uker siden, prøvde jeg å finne en formel for hvordan kan finne ut av f.ks

[tex]2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4[/tex]

eller

[tex]3^0 + 3^1 + 3^2 +3^3 + 3^4 + 3^5[/tex]

Etter mange ark kom jeg fram til to unødvendig kompliserte separate formler for grunntallene 2 og 3. 4 prøvde jeg meg ikke på, og 1 var unødvendig.

Men igår natt, da jeg prøve å sove, lo jeg og tenkte på og prøvde å forkorte formlene mine. Da kom jeg fram til denne formelen:

[tex]\frac{N^{e+1} - 1}{N-1}[/tex]

N er grunntallet, og E er den største eksponenten.

I første eksempel er N = 2 og E=4. og i andre eksempel er N = 3 og E = 5.

Denne formelen gjelder for alle tall over 1. Men tingen er, jeg aner ikke hvorfor. Under all regningen og tenkingen, har jeg "gått meg vill" og aner ikke hvordan jeg har kommet meg dit.

Er det noen som kan vise meg hvordan jeg kan bevise at denne formelen virker?

Nadeem

Jepp- Dette du holder på med nå er geometriske rekker. Her er ett bevis for din formel:

La [tex] S = 1 + a + a^2 + ... a^n \\ aS = a + a^2 + a^3 + ... + a^{n+1} \\ aS-a = a^{n+1} - 1 [/tex] (Hvis du ikke ser dette med en gang - legg merke til hvilke ledd som er like i hver serie.)
[tex]S(a-1) = a^{n+1} - 1 \\ S = {{a^{n+1} - 1 } \over {a-1}}[/tex]

Hm... tex var ikke helt med meg, og det snek seg inn en feil. Jeg gjør et nytt forsøk, og bruker din notasjon:

La
[tex]S = 1 + N + N^2 + ... + N^e[/tex]
Dermed:
[tex]SN = N + N^2 + N^3 + ... + N^{e+1}[/tex]
[tex]SN - S = N^{e+1} - 1[/tex]
[tex]S(N-1) = N^{e+1} - 1[/tex]
[tex]S = {{N^{e+1} - 1} \over {N-1}}[/tex]