matematikk.net

Heisann.
sitter her med en oppgave i sannsynlighetsregning som jeg behøver litt hjelp med. Oppgaven er som følger:
En rulettspiller som satser på tallene 1-12 har 12/37 sannsynlighet for å vinne og 25/37 sannsynlighet for å tape. Dersom vedkommende vinner får han utbetalt 150 Euro. Spilleren blir bitt av spillebasillen og spiller 100 omganger i løpet av en kveld, i hver omgang satser hun 50 euro på tallene 1-12. La T være den samlede(totale) nettogevinsten Finn
a)E(T), Var(T) og SD(T)
b)Hva er sannsynligheten for at vedkommende
1) Taper minst 1000 Euro i løpet av kvelden
2) Tjener minst 1000 Euro i løpet av kvelden

Har funnet E(T)=-135.14, Var(T)=493060 og SD(T)=702.18
Må ha hjelp med de to siste. Iht fasit skal disse bli 1)11% og 2)5%
Håper noen kan hjelpe meg
Vennlig hilsen Brumble

Dersom rulettspilleren vinner X av de 100 omgangene, blir den totale nettogevinsten

[tex]T(X) \: = \: 150X - 5000. [/tex]

For at rulettspilleren skal vinne minst 1000 euro, må altså

[tex]T(X) \: \geq \: 1000 \;\;\; \Longleftrightarrow \;\;\; X \: \geq \: \frac{6000}{150} \: = \: 40[/tex].

Så sannsynligheten for at rulettspilleren skal vinne minst 1000 euro, blir

[tex]P(X \geq 40) \;=\; \sum_{n=40}^{100} C(100,n) \: (\frac{12}{37})^n \: (\frac{25}{37})^{25-n}[/tex].

For å regne ut denne verdien, kan vi anvende det faktum dersom X er binomisk fordelt (n;p), så er

[tex]P(a \leq X \leq b) \; \approx \; P\,\Big[\frac{a - np}{\sqrt{np(1-p)}} \; \leq \; Z \; \leq \; \frac{b - np}{\sqrt{np(1-p)}} \, \Big][/tex]

der variabelen

[tex]Z = \frac{X - mp}{\sqrt{np(1-p)}}[/tex]

er standard normalfordelt. Herav følger at

[tex]P(X \geq 40) \; \approx \; P(Z \: \geq \: \frac{40 \:-\: 100 \cdot 12/37}{\sqrt{100 \cdot (12/37) \cdot (25/37)}}\; = \; P(Z \: \geq \: {\textstyle \frac{2,8}{\sqrt{3}}}) \; \approx \; P(Z \geq 1,62) \: \approx \: 0,05.[/tex]

På tilsvarende måte kan man bestemme sannsynligheten for å tape minst 1000 euro (starter altså med å løse ulikheten [tex]T(X) \, \leq \, -1000[/tex]).

Vil bare si tusen takk for hjelpen