matematikk.net

Hei!

Funksjonen F(x) = ax^3 + bx^2 + c er gitt. F har et vendepunkt for x=2. Vendetangenten har likningen y = - 12x + 16. Bestem konstantene a, b og c.

Jeg tror jeg bør finne to likninger...? Og at den ene er 12a + 2b = 0. Hva blir den andre...?

Likningen til vendetangenten er

[tex]y \:-\: f(2) \;=\; f^{\prime}(2)(x \:-\: 2),[/tex]

som er ekvivalent med

[tex](1) \;\; y \;=\; f^{\prime}(2)x \:+\: f(2) \:-\: 2f^{\prime}(2).[/tex]

Ifølge oppgaveteksten er likningen til vendetangenten

[tex](2) \;\;y \;=\; -12x \:+\: 16.[/tex]

Ved å sammenlikne koeffisientene i (1) og (2) får vi at

[tex]f^{\prime}(2) \:=\: -12 \;\; \& \;\; f(2) \:-\: 2f^{\prime}(2) \;=\; 16.[/tex]

Altså blir

[tex]f(2) \;=\; 16 \:+\: 2f^{\prime}(2) \;=\; 16 \:+\: 2 \cdot (-12) \;=\; 16 \:-\: 24 \;=\; -8. [/tex]

Nå er f'(x) = 3ax[sup]2[/sup] + 2bx og f''(x) = 6ax + 2b. Nå vet vi at f(2) = -8, f'(2) = -12 og f''(2) = 0, som igjen gir oss likningssystemet

8a + 4b + c = -8.

12a + 4b = -12,

12a + 2b = 0.

Løser vi dette likningssystemet, får vi a = 1, b = -6 og c = 8.