matematikk.net

Avgjør om følgen konvergerer eller divergerer. Finn grenseverdien hvis den konvergerer.

a)
[symbol:uendelig]
{(1+(-1)[sup]n[/sup])/ ([symbol:rot] n)}
n=1

b)
[symbol:uendelig]
{(ln3n)/(ln2n)}
n=1

c)
[symbol:uendelig]
{n sin(1/n)}
n=1

Vi skal avgjøre om følgen [tex]\{a_n\}_{n=1}^{\infty}[/tex] konvergerer eller divergerer når

a) [tex]a_n \:=\: \frac{1 \:+\: (-1)^n}{\sqrt{n}}.\;[/tex] Her er [tex]a_n \:=\: 0[/tex] når [tex]n[/tex] er odde mens [tex]a_n \:=\: 2/\sqrt{n}[/tex] når [tex]n[/tex] er like. Dermed blir [tex]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \:=\: 0[/tex]. M.a.o. er denne følgen konvergent.

b) [tex]a_n \:=\: \frac{\ln 3n}{\ln 2n} \:=\; \frac{\ln 3 \:+\: \ln n}{\ln 2 \:+\: \ln n} \;=\; \frac{\ln 3/\ln n \:+\: 1}{\ln 2/\ln n \:+\: 1}.\;[/tex] Altså er [tex]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \:=\: 1.\;[/tex] Så denne følgen er konvergent.

c) [tex]a_n \:=\: n \, \sin n^{-1} \;=\; \frac{\sin n^{-1}}{n^{-1}}.\;[/tex] Ved å sette [tex]x = n^{-1},[/tex] får vi at

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \;=\; \lim_{n \rightarrow \infty} \; \frac{\sin n^{-1}}{n^{-1}} \;=\; \lim_{x \rightarrow 0} \; \frac{\sin x}{x} \;=\; 1.[/tex]

Ergo er denne følgen også konvergent.