matematikk.net

har problemer med følgende oppgave:

Bevis at √3 er et irrasjonalt tall, ved hjelp av selvmotsigelse.

takk

får det ikke til, jeg har jo allerede sett det eksempelet i boka.... trenger hjelp. vær så snill!!

Dette har Candela skrevet artikkel om, som jeg har lest.
Dernest har jeg selv prøvd dette for [symbol:rot] 3. Håper ikke jeg har rota.
Les den ke! for [symbol:rot] 3

Bevis for at [symbol:rot] [3] er irrasjonell.

(1)Hvis en har et vilkårlig heltall og multipliserer det med 2, må det nye tallet være et partall.
(2) Hvis kvadratet av et tall er et partall, må også tallet være partall.
(3) Brøker kan forenkles: 8/12 = 4/6 = 2/3, brøken kan ikke forenkles mer.

Teorem:
√ 3 kan ikke skrives som en brøk.

Bevis:
For å løse oppgaven brukes indirekte bevis, og antar at √ 3 kan skrives som brøken a / b.

√ 3 = a / b
da vil 3 = a[sup]2[/sup] / b[sup]2 [/sup]
og
3*b[sup]2[/sup] = a[sup]2[/sup] (I)

Fra (1) sees nå at a[sup]2[/sup] må være et partall, og fra (2) at a også må være et partall. Dersom a er et partall, skrives a som 3m,
(m er et annet helt tall). Setter inn i formelen (I):

3*b[sup]2[/sup] = (3m)[sup]2[/sup] = 9*m[sup]2 [/sup]
b[sup]2[/sup] = 3*m[sup]2[/sup]


3 er en felles faktor for a og b og, som betyr at brøken a/b kan forkortes med 3 i teller og nevner. Ergo er tørste felles divisor for a og b er 1. Dermed er det en selvmotsigelse som beviser at [symbol:rot] 3 ikke er et rasjonalt tall..

Signaturen "Janhaa" skriver:

3*b^2 = a^2 (I)

Fra (1) sees nå at a^2 må være et partall,

Dette er galt! Det vi kan utlede av (I), er at [tex]3|a^2[/tex] ([tex]m|n[/tex] betyr at [tex]n[/tex] er delelig med [tex]m[/tex]). Dette betyr at [tex]3|a[/tex] ettersom 3 er et primtall. M.a.o. er finnes det et naturlig tall [tex]c[/tex] slik at [tex]a = 3c.[/tex] Innsatt i (I) gir dette

[tex]3b^2 \;=\; a^2 \;=\; (3c)^2 \;=\; 9c^2,[/tex]

dvs. at [tex]b^2 = 3c^2.[/tex]. Altså vil [tex]3|b^2[/tex], som gir [tex]3|b[/tex]. Dermed har vi vist at 3 er en felles faktor for [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex], hvilket betyr at brøken [tex]a/b[/tex] kan forkortes med 3 i teller og nevner. Dette strider mot forutsetningen om at brøken [tex]a/b[/tex] ikke kan forkortes, dvs. at største felles divisor for [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er 1. Så vi har utledet en selvmotsigelse som beviser at [tex]\sqrt{3}[/tex] ikke er et rasjonalt tall.

Standardbevis:

The well-ordering principle (WOP) states that a non-empty subset of N always contains a least element.

Let [tex]\sqrt{3} = \frac{a}{b} \qquad \ a, \ b \in N^*[/tex]
This implies that [tex]A = \{ \sqrt{3} n \ : \ n, \ \sqrt{3} n \ \in \ N^* \} \ne \empty[/tex]

From the WOP, we know that this set must contain a least element [tex]j = sqrt{3} k[/tex].

[tex]0 < \sqrt{3} - 1 < 1[/tex]
[tex]j(\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3}(j - k) = 3k - j[/tex], and must therefore be a positive integer less than j in A.

This is a contradiction of the well-ordering principle, hence [tex]\sqrt{3}[/tex] cannot be a rational number.