matematikk.net

Kan noen hjelpe meg med å løse denne oppgaven? Vis utregning


På en kaninfarm øker antallet kaniner med 7% per uke. hvor lang tid tar det før bestanden er fordoblet?


Jeg har prøvd å løse den, men kom ikke lenger enn dette:

Vekstfaktor: 1+7/100

Vet ikke om det er riktig en gang :S
Trenger hjelp!

Vekstfaktoren er vel så enkelt som 1+p/100, hvor p er 7. Altså blir vekstfaktoren 1.07.

Kan vi ikke da skrive bestanden til en hver tid som B = B[sub]0[/sub]*1,07[sup]u[/sup] der u er antall uker? For hver uke må vi jo gange med 1,07. Vi kan dele dette uttrykket med B[sub]0[/sub] på hver side for å finne forholdet mellom bestanden til gitt tid og startbestanden. Dermed får vi:

B/B[sub]0[/sub] = 1,07[sup]u[/sup] = 2 (setter lik 2 for å finne tiden til dobling. Tar ln på begge sider og rydder opp:

ln2 = u ln1,07 --> u = ln2/ln1,07 som blir ca 10,2 uker. Stemmer det med fasit?

Når vekstfaktoren er 1,07 så har vi

[tex]k(u) = k_0 \cdot 1,07^u[/tex]

der [tex]k(u)[/tex] er antall kaniner etter u uker, og [tex]k_0[/tex] er antall kaniner i utgangspunktet. Funksjonen er definert for [tex]u \in [0, ->>[/tex] og [tex]k_0 > 0[/tex].

Når bestanden dobles, skal den være lik [tex]2k_0[/tex], altså det dobbelte at bestanden i utgangspunktet.

[tex]k(u) = 2k_0[/tex]

[tex]k_0 \cdot 1,07^u = 2k_0[/tex]

Vi deler på [tex]k_0[/tex], det har vi lov til, siden [tex]k_0 > 0[/tex].

[tex]1,07^u = 2[/tex]

Så fyrer vi løs med logaritmer. Pga. mangfoldige standarder for baser til logaritmer, kan det være lurt å spesifisere hvilken base man vil bruke. I dette tilfellet bruker vi ubestemt logaritme, dvs. man kan bruke hvilken base man vil, så lenge den ikke er lik 1. (Man vil få det samme resultatet uansett om man bruker 10 eller e eller 2 osv. som base)

[tex]\log 1,07^u = \log 2[/tex]

[tex]u \cdot \log 1,07 = \log 2[/tex]

[tex]u = \frac{\log 2}{\log 1,07}[/tex]

[tex]u \approx 10.2447684[/tex]

Etter ca. 10,2 uker.