matematikk.net

I en konvergent geometrisk rekke med positive ledd er summen av 1. og 3. leddet lik produktet av de to første leddene.

Finn ved regning eksakte verdier for rekkens kvotient k, og rekkens første ledd a[sub]1[/sub], når rekkens sum skal være så liten som mulig.

Ifølge oppgaveteksten er

[tex](1) \;\;\; a_1 \:+\: a_3 \;=\; a_1 \cdot \, a_2 \,.[/tex]

Nå er [tex]a_n \:=\: a_1 \cdot k^{n-1},[/tex] som innsatt i (1) gir

[tex]a_1 \:+\: a_1 \cdot k^2 \;=\; a_1 \cdot (a_1 k),[/tex]

som er ekvivalent med

[tex]a_1 \;=\; \frac{k^2 \:+\: 1}{k} \,.[/tex]

Videre er summen [tex]S(k)[/tex] av den uendelige geometriske konvergente rekken

[tex]S(k) \;=\; \frac{a_1}{1 \:-\: k} \;=\; \frac{k^2 \:+\: 1}{k(1 \:-\: k)}. [/tex]

Dermed blir

[tex]S^{\prime}(k) \;=\; \frac{k^2 \:+\: 2k \:-\: 1}{(k \:-\:k^2)^2}\:.[/tex]

Ved å drøfte [tex]S^{\prime}(k)[/tex] i et fortegnsskjema, finner vi at [tex]S(k)[/tex] er minimal når [tex]k \:=\: \sqrt{2} \,-\, 1[/tex] og [tex]a_1 \;=\; 2\sqrt{2}.[/tex]

Takker, ser i ettertid at jeg burde ha klart å løse oppgaven selv (lett å være etterpåklok).