matematikk.net

En oppgave lyder slik:

Finnn følgen som betinger differensligningen og initialverdiene:

X(n+2) + 4X(n) = 0

Initialiseringsverdier:
X(0)=0 og X(1)=4

Det jeg ikke klarer å begriper er følgende:

Finner den komplekseløsning av den generelle formen:
X(n) = -i(2i)^n+i(2i)^n , og tester den med X(0) og X(1), og den stemmer
med X(0)=0 og X(1)=4

Så finner jeg den rellee løsningen av den genereller formen:

X(n)= 2^n[cos( [symbol:pi] n/2) +Sin( [symbol:pi] n/2)]

tester startsverdiene X(0), X(1) og får noe helt forskjellig fra X(0)=0 og
X(1)=4 Why...?

Jeg har ikke studert dynamiske systemer og differensligninger, men jeg prøver meg på en løsning ved genererende funksjoner. Jeg håper du godtar min alternative notasjon:

[tex]x_0 = 0. \ x_1 = 4 \\ x_{n+2} + 4x_n = 0[/tex]

Definer rekkens genererende funksjon for å være:
[tex]f(s) = \sum _{n=0} ^\infty x_ns^n = x_0 + x_1s + x_2s^2 + ...[/tex]

Fra definisjonen ser vi at:
[tex] 4f(s) + \frac{f(s)-x_0 - x_1s}{s^2} = 0[/tex]
[tex]f(s) = \frac{x_0 + x_1s}{4s^2 + 1}[/tex]


Anta at rekken konvergerer for noen s, og arbeid mot en mulig ekspansjon:
[tex]f(s) = \frac{4s}{4s^2 + 1} = \frac{1}{2s - i} + \frac{1}{2s + i} = \frac{i}{1+2is} - \frac{i}{1 - 2is}[/tex]

Ekspander:
[tex] f(s) = i \sum _{n=0} ^\infty (-2is)^n - i \sum _{n=0} ^\infty (2is)^n[/tex]

Dermed kan vi se at koeffisientene for s, og dermed x[n] er:
[tex]x_n = i(-2i)^n - i(2i)^n[/tex]


Altså ikke -i(2i)^n + i(2i)^n

Dette burde vel tilsvare
[tex]x_n = 2^{n+1} \sin (\frac{\pi n}{2})[/tex] ?