matematikk.net

Hei. Lurer bare pä;

Er lg(a/b) = (lg10^lg a) / (lg10^lg b) ?

enn videre får en lg 10^(lg a - lg b) = lg a - lg b, hvilket er en logaritmesetningen...stemmer dette? Kan noen hjelpe meg med å bevise denne setningen: lg(a*b) = lg a + lg b ?

Ja, det du har gjort stemmer.

[tex] lg (\frac {a}{b}) = lg ({\frac {10^{lg a}}{10^{lg b}}) = lg (10^{lg a - lg b}) = lg a - lg b[/tex]


[tex]lg(a*b) = lg(10^{lg a}*10^{lg b})[/tex]

En potensregel sier at [tex]a^b*a^c =a^{b+c}[/tex]


[tex]lg(10^{lg a+ lg b}) =lg a + lg b[/tex]

Ehm.

[tex]lg(\frac {a}{b}) \neq \frac {lg(a)}{lg(b)}[/tex]

Så det første er vel ikke korrekt.

Slik kommer man frem til logaritmesetningene:

1) [tex]\lg a^b = b \cdot \lg a[/tex], [tex]a > 0[/tex]

a) Begynn med a på V.S. og [tex]10^{\ln a}[/tex] på H.S.

[tex]a = 10^{\lg a}[/tex]

b) Opphøy begge sider i b.

[tex]a^b = 10^{(\lg a) \cdot b} = a \cdot 10^b[/tex]

c) Logaritmen på begge sider.

[tex]\lg a^b = b \cdot \lg a[/tex]

2) [tex]\lg (ab) = \lg a + \lg b[/tex]

a) Begynn med ab på V.S. og [tex]10^{\lg a} \cdot 10^{\lg b}[/tex] på H.S.

[tex]ab = 10^{\lg a} \cdot 10^{\lg b}[/tex]

b) Trekk sammen H.S.

[tex]ab = 10^{\lg a + \lg b}[/tex]

c) Logaritmen på begge sider.

[tex]\lg (ab) = \lg a + \lg b[/tex]

3) [tex]\lg (\frac{a}{b}) = \lg a - \lg b[/tex]

a) Begynn med [tex]\frac{a}{b}[/tex] på V.S. og [tex]\frac{10^{\lg a}}{10^{\lg b}}[/tex] på H.S.

[tex]\frac{a}{b} = \frac{10^{\lg a}}{10^{\lg b}}[/tex]

b) Trekk sammen H.S.

[tex]\frac{a}{b} = 10^{\lg a - \lg b}[/tex]

c) Logaritmen på begge sider.

[tex]\lg (\frac{a}{b}) = \lg a - \lg b[/tex]

Disse utledelsene er det like greit å pugge eller lære seg på annet vis uansett, for rett som det er sitter man der på eksamen og skal utlede setningene. Alle kan utledes på tre steg, og det tredje steget er logaritme på begge sider, altså er det nok å huske hvordan man begynner, og den neste operasjonen, og så logaritme til slutt.