Hei!
Vi setter opp våre to likninger:
[tex]0.5x + 5y + 10z = 100[/tex]
[tex]x + 10y + 20z = 200[/tex]
Og den andre:
[tex]x+y+z = 100[/tex]
Tar f.eks x = 100 - y- z og setter inn i øverste likning:
[tex](100-y-z) + 10y + 20z = 200[/tex]
[tex]9y + 19z = 100[/tex]
Bruker euklids metode for gcd og får: 19 = 9*2 + 1
d = gcd(19,9) = 1
[tex]1 = 19-9*2[/tex]
Multipliserer med 100
[tex]100*19 - 200*9 = 100[/tex]
Her har vi et problem. I følge denne løsningen så er y=-200 og z=100. Dette stemmer ikke. Vi må derfor bruke formel for å bestemme alle løsninger til diofantiske likninger:
[tex]y = -200 + \frac {19}{1}*t[/tex]
[tex]z = 100 - \frac {9}{1}*t[/tex]
Vi vet at [tex]z\in (0,100)[/tex] følgelig må [tex]t\in (0,11)[/tex].
Av den andre ser vi at [tex]19t > -200[/tex] og får at t = 11
Setter dette inn og får:
[tex]y = -200 + 19*11 = 9[/tex]
[tex]z = 100-99 = 1[/tex]
[tex]x + 10y + 20z = 200[/tex]
[tex]x = 200 - 20 - 9*10 = 180-90 = 90[/tex]
Dette gir oss da:
[tex](x,y,z) = (90,9,1)[/tex]
Og så la man seg
