Page 1 of 1
Differensialligninger
Posted: 10/10-2006 23:04
by Serenity
Jeg skal løse følgende differensialligningssystem
x' = 2x-2y
y' = 2x-3y
Noen som har en grei måte å legge dette fram på?
Re: Differensialligninger
Posted: 12/10-2006 03:09
by Janhaa
(
Serenity wrote:Jeg skal løse følgende differensialligningssystem
x' = 2x-2y
y' = 2x-3y
Noen som har en grei måte å legge dette fram på?
Tar forbehold nå, bare tester, nærmest leker:
[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = 2x - 2y
[symbol:integral]dx = [symbol:integral](2x - 2y)dy
x = 2xy - y[sup]2[/sup] + C
[tex]dy\over dx[/tex] = y ' = 2x - 3y
[symbol:integral]dy = [symbol:integral](2x - 3y)dx
y = x[sup]2[/sup] - 3xy + D
Posted: 12/10-2006 08:11
by Cauchy
De deriverte her, er det mhp hverandre? Dvs y'(x), x'(y)?
Eller er det er autonomt system, hvor derivasjonen er f.eks på en tidsvariabel?
Posted: 12/10-2006 12:26
by Solar Plexsus
Løsningen til signaturen Janhaa er ikke korrekt. Han behandler jo x som en konstant når han får at [symbol:integral]2x dy = 2xy + C. En langt mer plausibel forklaring er at x og y begge er funksjoner av samme variabel, dvs. at x=x(t) og y=y(t) slik at x' og y' betyr hhv. dx/dt og dy/dt.
Stiller vi dette differensiallikningssystemet opp på matriseform, får vi
[x'] = [2 -2][x]
[y'] .. [2 -3][y].
Koeffisientmatrisa har egenverdiene -2 og 1. Fra lineæralgebraen er det kjent at løsningen av denne matriselikningen da gitt på formen
[tex]x \;=\; Ae^{-2t} \:+\: Be^t,[/tex]
[tex]y \;=\; Ce^{-2t} \:+\: De^t.[/tex]
der A, B, C og D er konstanter. Setter vi dette inn i matriselikningen ovenfor, får vi B = 2D og C = 2A. M.a.o. er løsningen av dette differensiallikningssystemet
[tex]x \;=\; Ae^{-2t} \:+\: 2De^t,[/tex]
[tex]y \;=\; 2Ae^{-2t} \:+\: De^t.[/tex]
Posted: 12/10-2006 15:11
by Janhaa
Solar Plexsus wrote:Løsningen til signaturen Janhaa er ikke korrekt. Han behandler jo x som en konstant når han får at [symbol:integral]2x dy = 2xy + C. En langt mer plausibel forklaring er at x og y begge er funksjoner av samme variabel, dvs. at x=x(t) og y=y(t) slik at x' og y' betyr hhv. dx/dt og dy/dt.
Stiller vi dette differensiallikningssystemet opp på matriseform, får vi
[x'] = [2 -2][x]
[y'] .. [2 -3][y].
Koeffisientmatrisa har egenverdiene -2 og 1. Fra lineæralgebraen er det kjent at løsningen av denne matriselikningen da gitt på formen
[tex]x \;=\; Ae^{-2t} \:+\: Be^t,[/tex]
[tex]y \;=\; Ce^{-2t} \:+\: De^t.[/tex]
der A, B, C og D er konstanter. Setter vi dette inn i matriselikningen ovenfor, får vi B = 2D og C = 2A. M.a.o. er løsningen av dette differensiallikningssystemet
[tex]x \;=\; Ae^{-2t} \:+\: 2De^t,[/tex]
[tex]y \;=\; 2Ae^{-2t} \:+\: De^t.[/tex]
Skal være enig med det Mr. Plexsus,
men husk jeg skrev med forbehold !
Dessuten spesifiserte ikke Serenity hva man skulle derivere mhp.
x ' = [tex]dx\over dy[/tex] = x' (y) eller x ' = [tex]dx\over dt[/tex] = x ' (t),
hvor sistnevnte selvfølgelig er den mest plausible.