matematikk.net

oppgave1:

et kirkevindu skal være innrammet i gull. det er nok gull til å la omkretsen av vinduet(viduskarmen) være 10 m lang. vinduet skal ha form som et rektangel med en halvsirkel på toppen. finn målene til rektangelet som maksimerer viduets areal..

takk til de som svarer. setter stor pris på det..

erik_jon wrote:oppgave1:
et kirkevindu skal være innrammet i gull. det er nok gull til å la omkretsen av vinduet(viduskarmen) være 10 m lang. vinduet skal ha form som et rektangel med en halvsirkel på toppen. finn målene til rektangelet som maksimerer viduets areal..
takk til de som svarer. setter stor pris på det..

1:

Rektangel med lengde x og y, og halvsirkel med r = (x/2)
(I)
Omkrets(vindu) = (x + 2y) + ( [symbol:pi] *(x/2))

O[sub]vindu[/sub] = (x + 2y) + ( [symbol:pi] x/2)

O[sub]vindu[/sub] = 2y + x(1 + [symbol:pi] /2) = 10

løser mhp y:

y(x) = y = 5 - (x/2)*(1 + ( [symbol:pi] /2))



(II)
A = (x*y) + ( [symbol:pi] r[sup]2[/sup]/2)

setter y inn i (II):

A = x*( 5 - (x/2)*(1 + ( [symbol:pi] /2))) + ( [symbol:pi] x[sup]2[/sup]/8)

A = 5x - (x[sup]2[/sup]/2) - ( [symbol:pi] x[sup]2[/sup]/4) + ( [symbol:pi] x[sup]2[/sup]/8)

A ' = 5 - x - ( [symbol:pi] x/2) + ( [symbol:pi] x/4) = 0

A ' = 5 - x - ( [symbol:pi] x/4) = 0

A ' = 20 - x( [symbol:pi] + 4) = 0


[tex]x\;=\;[/tex][tex]20\over {4+\pi}[/tex][tex]\;\approx 2.8\;(m)[/tex]


Sette x inn i y:

y(2.8) = 1.4 (m)



A[sub]max[/sub] = 3.92 + 3.08 = 7 (m[sup]2[/sup])

O[sub]vindu[/sub] = 2.8*2.5708 + 2.8 = 10 (m)