matematikk.net

Jeg har en oppgave her som jeg ikke vet helt hvordan jeg skal løse:
f(x) = x* [symbol:rot] x^2+3x
Her skal vi derivere vha. produktregelen, men jeg vet ikke åssen, så håper dere kan forklare underveis.
På forhånd tusen takk for all hjelp!
Fasitsvar: (4x^2+9x)/2 [symbol:rot] x^2+3x

Hvor langt strekker kvadratrottegnet? Bare over x^2, eller over (x^2 + 3x)?

Slik det står her, så strekker det kun over x^2, men jeg går ut fra at du mener det siste, ut fra fasitsvaret.

[tex]f(x) = x \cdot sqrt{x^2 + 3x}[/tex]

Funksjonen består av et produkt av to faktorer, som vi kaller a(x) og b(x):

[tex]a(x) = x[/tex]
[tex]b(x) = sqrt{x^2 + 3x}[/tex]

Av produktregelen har vi da at

[tex]f^\prime(x) = a^\prime(x) b(x) + a(x)b^\prime (x)[/tex]

Vi ser at

[tex]a^\prime(x) = 1[/tex]

b er mer kompleks, så vi angripe den med kjerneregelen. Kjernen kaller vi u(x):

[tex]u(x) = x^2 + 3x[/tex]

Altså:

[tex]b(u) = sqrt{u(x)}[/tex]

Som igjen vil si

[tex]b^\prime(u) = \frac{1}{2sqrt {u(x)}}[/tex]

Da blir b'(x) produktet av b'(u) og u'(x):

[tex]u^\prime = 2x + 3[/tex]

[tex]b^\prime (x) = \frac{1 \cdot (2x + 3)}{2 sqrt {u(x)}[/tex]

[tex]b^\prime (x) = \frac{2x + 3}{2 sqrt{x^2 + 3x}}[/tex]

Så kan vi sette sammen til hele f'(x):

[tex]f^\prime (x) = 1 \cdot sqrt{x^2 + 3x} + x \cdot \frac{2x + 3}{2 sqrt{x^2 + 3x}}[/tex]

Så kan vi forenkle og trekke sammen dette.

[tex]f^\prime (x) = \frac{2x^2 + 6x + 2x^2 + 3x}{2 sqrt{x^2 + 3x}}[/tex]

[tex]f^\prime (x) = \frac{4x^2 + 9x}{2 sqrt{x^2 + 3x}}[/tex]