Beregne sum av en rekke!! HJELP
Posted: 03/11-2006 13:29
Hvordan beregne summen av denne rekka??
Legg merke til at:
[tex]3^n(4^{n+1}-3^{n+1}) - 3^{n+1}(4^n -3^n) = 3^n 4^{n+1} - 3^{n+1} 4^n = 3^n 4^n(4-3) = 12^n[/tex]
Dermed ser vi at:
[tex]\sum _{n = 1} ^\infty \ \frac{12^n}{(4^n - 3^n)(4^{n+1} - 3^{n+1})} = \sum _{n=1} ^\infty \frac{3^n}{4^n - 3^n} - \frac{3^{n+1}}{4^{n+1} - 3^{n+1}}[/tex]
Dette er en teleskoperende rekke. Vi ser at:
[tex]\sum _{n=1} ^k \frac{3^n}{4^n - 3^n} - \frac{3^{n+1}}{4^{n+1} - 3^{n+1}} = \frac{3}{4-3} - \frac{3^{k+1}}{4^{k+1}-3^{k+1}}[/tex]
Og dermed: [tex]\sum _{n = 1} ^\infty \ \frac{12^n}{(4^n - 3^n)(4^{n+1} - 3^{n+1})} = \lim _{k \rightarrow \infty} \ 3 - \frac{3^{k+1}}{4^{k+1}-3^{k+1}} = 3[/tex]