matematikk.net

Vis at det fins konstanter a og b slik at

dy/dx = ay - by^2 for alle x

y=f(x)= 1/ (1+3e^-2x)

Kan noen hjelpe?

Du deriverer y og setter inn i likningen for å se at det stemmer.
[tex] y = \frac1{1+3 exp{-2x}} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{6 exp{-2x}}{(1+3 exp {-2x})^2} \\ \text{Setter inn \frac{dy}{dx} og y i likningen: } \\ \frac{6 exp{-2x}}{(1+3exp {-2x})^2} = \frac{a}{1+3 exp{-2x}} - \frac{b}{(1+3 exp{-2x})^2} \\ 6 exp{-2x} = a(1+3 exp{-2x}) - b \\ \text{samler ledd} \\ (6-3a) exp{-2x} + (b-a) = 0 \\ 6 = 3a \\ b=a[/tex]