matematikk.net

Greit - jeg fikk ikke helt sove i går kveld, og kom til å tenke på at den naturlige logaritmen er definert som [tex]\int_1^x \frac{1}{x} dx[/tex]. Dette integralet kan man ikke finne analytisk uten å bruke den naturlige logaritmen, fordi det ville kreve at man kan dele på null, men man kan jo finne en god tilnærmingsverdi, ved å finne arealet under f.eks. [tex]\frac{1}{x^{1.1}}[/tex]. Eller en enda bedre tilnærming, arealet under [tex]\frac{1}{x^{1.00001}}[/tex] ! Kanskje man kan definere den naturlige logaritmen som arealet under en graf gitt ved en grenseverdi? Slik at [tex]\ln (x) = \lim_{n \rightarrow 1}\ \int_1^x (x^{-n}) dx[/tex]? Ved hjelp av denne grenseverdien kan vi nemlig finne et nøyaktig uttrykk for integralet. Med potensregelen får vi da til slutt at integralet blir [tex]\lim_{n \rightarrow 1}\ \frac{x^{1-n}}{1-n}[/tex]. Arealet mellom 1 og x blir da [tex]\lim_{n \rightarrow 1}\ \frac{x^{(1-n)}-1}{1-n}[/tex]. Ergo er

[tex]\ln (x) = \lim_{n \rightarrow 1}\ \frac{x^{(1-n)}-1}{1-n}[/tex]

Eventuelt

[tex]\ln (x) = \lim_{n \rightarrow 0}\ \frac{x^n-1}{n}[/tex]

Prøver på kalkulatoren med x = 8, og velger n = 0.0001. Får da at [tex]\ln x \approx 2.0794[/tex]. Den riktige ln-verdien er [tex]\approx 2.0794[/tex]. Ikke dårlig. Vi hadde kanskje fått mer nøyaktig svar ved å velge mindre verdi for n. Har vi kanskje kommet frem til en alternativ definisjon på naturlig logaritme?

Nå har jeg ikke sett så mye på dette - kan se litt mer på det senere. Men ettersom det var så kreativt mener jeg det fortjener et svar. Slik jeg ser det nå er det mulig å gjøre det som har blitt gjort, men er noe med notasjonen jeg er litt skeptisk til - klarer bare ikke helt å sette fingeren på det.

Skal komme tilbake til det.

noen konklusjoner?

Vel. Det du har skrevet der er korrekt, men det er ingen ny definisjon.

http://functions.wolfram.com/Elementary ... ns/Log/09/

Faktisk en ganske kjent definisjon! Men bra jobba er det likevel.

Hehe, det var det jeg hadde tenkt meg det, at jeg hadde funnet opp hjulet på nytt. Men men. En dag finner jeg kanskje en definisjon som ikke allerede er funnet...