NASJONALT SEKRETARIAT FOR ELEVVURDERING

Studieretning for allmenne fag

EKSAMEN VÅREN 1993

Kode AF 3062

8. juni

MATEMATIKK

2MN

Eksamenstid: 5 timer

Hjelpemidler:

Lommeregner
Symbol- og terminologiliste med formelsamling, utgitt av RVO

Bokmålstekst

OPPGAVE 1

a)

Deriver funksjonene gitt ved

<math>f(x)=x^3(x-4)^5</math>
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2-\sqrt{1-x}</math>

b)

I et koordinatsystem har vi gitt punktene <math>A(2,4)</math>, <math>B(-3,-1)</math> og <math>C(5,-3)</math>.

Bestem <math>\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}</math> og <math>\angle BAC</math>.

c)

Bestem følgende grenseverdier hvis de eksisterer

<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-3}{-x^2+2x}</math>
<math>\lim_{x\to 3}\frac{x^2-2x-3}{x-3}</math>

d)

Funksjonene f og g er gitt ved

<math> f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+6, \qquad D_f=\mathbb{R} </math>

<math> g(x)=x-\frac{3}{2}, \qquad D_g=\mathbb{R} </math>

Figuren viser grafene til f og g. Regn ut arealet av det skraverte området.

OPPGAVE 2

En funksjon <math>f</math> er gitt ved

<math> f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}, \qquad D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\} </math>

a)

Undersøk symmetriegenskapene til grafen til <math>f</math>.

b)

Finn likningene for asymptotene til grafen.

c)

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen.

d)

Tegn grafen til <math>f</math> med asymptoter. Bruk 1 cm som enhet på begge aksene.

e)

Bestem likningen for tangenten til grafen i punktet <math>(4,f(4))</math>.

f)

Bruk grafen til å bestemme antall løsninger til likningen

for forskjellige verdier av <math>b</math>.

OPPGAVE 3

Vi har gitt tre punkter <math>A</math>, <math>B</math> og <math>C</math> som ikke ligger på en rett linje.

Vi setter

<math> \overrightarrow{AB}=\vec{u} </math>

og

<math> \overrightarrow{AC}=\vec{v} </math>

Punktene <math>P</math> og <math>R</math> er bestemt ved

<math> \overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{PB} </math>

og

<math> \overrightarrow{AR} = 2\overrightarrow{RC} </math>

a)

Finn <math>\overrightarrow{AP}</math> og <math>\overrightarrow{BR}</math> uttrykt ved <math>\vec{u}</math> og <math>\vec{v}</math>.

Punktet <math>Q</math> ligger slik at <math>APQR</math> er et parallellogram med <math>AQ</math> som diagonal.

b)

Vis at punktene <math>B</math>, <math>Q</math> og <math>C</math> ligger på en rett linje.

De rette linjestykkene <math>AQ</math> og <math>BR</math> skjærer hverandre i <math>S</math>.

c)

Bestem <math>\overrightarrow{AS}</math> uttrykt ved <math>\vec{u}</math> og <math>\vec{v}</math>.

OPPGAVE 4

a)

Vi har gitt

<math> \cos 2x=\frac{119}{169}, \qquad x\in\langle 90^\circ,180^\circ\rangle </math>

Regn ut eksakte verdier for <math>\sin x</math> og <math>\tan x</math>.

b)

Figuren viser grafen til funksjonen <math>f</math> gitt ved

<math> f(x)=a\sin x+b, \qquad x\in[0,2\pi\rangle </math>

der <math>a</math> og <math>b</math> er konstanter.

Bruk grafen til å bestemme <math>a</math> og <math>b</math>.
Løs likningen

<math> 3\sin x+2=0, \qquad x\in[0,2\pi\rangle </math>

ved regning.

c)

Skriv så enkelt som mulig

Løs ulikheten

OPPGAVE 5

a)

Formuler og bevis sinussetningen (sinusproporsjonen).

b)

På figuren er <math>A</math> og <math>B</math> to observatorier på jordoverflata, <math>S</math> er en satellitt, og <math>O</math> er jordas sentrum.

<math>A</math>, <math>B</math>, <math>S</math> og <math>O</math> ligger i samme plan, og

(jordradien).

Avstanden mellom observatoriene (lengden av buen <math>AB</math>) er

1)

Regn ut <math>\angle AOB</math>.

Gi svaret både i radianer og i grader.

2)

Bestem lengden av det rette linjestykket <math>AB</math>.

Ved <math>A</math> måles vinkelen mellom siktelinjen <math>AS</math> og horisonten til

<math> 38,0^\circ </math>.

Samtidig måles tilsvarende vinkel ved <math>B</math> til

<math> 21,2^\circ </math>.

Se figuren.

3)

Finn <math>\angle ASB</math>.

4)

Bestem satellittens avstand <math>SC</math> fra det nærmeste punktet på jordoverflaten.

2MN-080693

Innhold