2MN-290988
RÅDET FOR VIDEREGÅENDE OPPLÆRING
Studieretning for allmenne fag
Naturfaglinja, 2. årstrinn
MATEMATIKK 2 MN
EKSAMEN HØSTEN 1988
Kode AF 3062
29. september
Bokmålstekst
Nynorsk tekst på den andre siden.
Oppgaven har 2 tekstsider.
- Eksamenstid
5 timer
- Hjelpemidler
Lommeregner
Godkjent symbol- og terminologiliste
OPPGAVE 1
a) Deriver funksjonene gitt ved
- <math>f(x)=\frac{2x}{\,4-x^2\,}</math>
- <math>f(x)=(10x-3)^5</math>
b)
Finn to tall, <math>x</math> og <math>y</math>, som er slik at
- Produktet av tallene er lik 18.
- Hvis du multipliserer summen av tallene med 2 og fra dette produktet trekker differansen mellom de to tallene, får du 15.
c)
Bestem følgende grenseverdier hvis de eksisterer.
- <math>\lim_{x\to\infty}\frac{3-2x^2}{x^2+3x}</math>
- <math>\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}</math>
d)
Skriv definisjonen av den deriverte til en funksjon <math>f</math> i et punkt <math>x</math>.
Bruk definisjonen til å finne den deriverte til funksjonen
- <math>f(x)=\frac1{x+1},\qquad x\neq-1.</math>
e)
Regn ut integralet
- <math>\int_{-2}^{1}\sqrt{(x+1)^2}\,dx.</math>
OPPGAVE 2
I et koordinatsystem med origo <math>O</math> har vi gitt punktene
- <math>A(-2,-1),\quad B(2,3)\quad\text{og}\quad D(-4,7).</math>
a)
Bestem koordinatene til
- <math>\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BD}</math>
og regn ut
- <math>\angle BAD.</math>
Et punkt <math>C</math> er bestemt ved at
- <math>\overrightarrow{DC}=\frac34\overrightarrow{AB}.</math>
b)
Bestem koordinatene til <math>C</math>.
Hva slags firkant er <math>ABCD</math>? Begrunn svaret.
Normalen fra <math>D</math> på <math>AB</math> treffer <math>AB</math> i <math>E</math>.
c)
Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til <math>E</math>.
Regn ut arealet av firkanten <math>ABCD</math>.
OPPGAVE 3
a)
Formelen for cosinus til differansen mellom to vinkler <math>u</math> og <math>v</math> er
- <math>\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v \qquad (1)</math>
Vis at
- <math>\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \qquad (2)</math>
Bruk (1) og (2) til å utlede formelen for sinus til en sum av to vinkler.
b)
Funksjonen <math>f</math> er gitt ved
- <math>f(x)=\cos(135^\circ-x)-\sin(x+45^\circ),\qquad D_f=[0^\circ,360^\circ\rangle</math>
Skriv uttrykket for <math>f(x)</math> så enkelt som mulig.
Løs likningen
- <math>f(x)=1.</math>
OPPGAVE 4
a)
I trekanten <math>ABC</math> er
- <math>\angle A=34,0^\circ,\quad BC=5,0\quad\text{og}\quad AC=8,0.</math>
Finn <math>\angle B</math>, siden <math>AB</math> og arealet av trekanten.
b)
I trekanten <math>PQR</math> er
- <math>PR=4,\quad QR=a\quad\text{og}\quad PQ=x.</math>
Vinkelen <math>P</math> er spiss, og
- <math>\sin P=\frac{\sqrt7}{4}.</math>
Finn eksakt verdi for <math>\cos P</math>.
Bruk cosinussetningen til å finne siden <math>x</math> uttrykt ved <math>a</math>.
Drøft uttrykket for <math>x</math>, og avgjør hvor mange mulige verdier vi kan få for <math>x</math> (som side i trekanten) for ulike verdier av <math>a</math>. Illustrer hvert av tilfellene med en enkel figur.
OPPGAVE 5
Funksjonen <math>f</math> er gitt ved
<math> f(x)= \begin{cases} -x^2+2x+3, & \text{for }0\le x\le4,\\[1ex] -x-\dfrac{3}{x-1}, & \text{for }x<0. \end{cases} </math>
a)
Finn eventuelle nullpunkter til <math>f</math>.
b)
Undersøk om <math>f</math> er kontinuerlig i <math>x=0</math> og om <math>f</math> er deriverbar i <math>x=0</math>.
c)
Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til <math>f</math>.
d)
Finn likningene for eventuelle asymptoter til grafen til <math>f</math>.
e)
Tegn grafen til <math>f</math> med asymptoter på millimeterpapir. Bruk 1 cm som enhet på begge aksene.
f)
Finn arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafen til <math>f</math>, den positive førsteaksen og andreaksen.
Funksjonen <math>g</math> er gitt ved
- <math>g(x)=ax+3</math>
der <math>a</math> er et reelt tall.
g)
Vis at grafen til <math>g</math> går gjennom punktet <math>(0,3)</math> for alle verdier av <math>a</math>.
Bruk grafen til å bestemme antall løsninger til likningen
- <math>f(x)=g(x)</math>
for ulike verdier av <math>a</math>.