RÅDET FOR VIDEREGÅENDE OPPLÆRING

Studieretning for allmenne fag

Naturfaglinja, 2. årstrinn

MATEMATIKK 2MN

EKSAMEN VÅREN 1988

Kode AF 3062

30. mai

Bokmålstekst

Nynorsk tekst på den andre siden.

Oppgaven har 2 tekstsider.

Eksamenstid

5 timer

Hjelpemidler

Lommeregner

Godkjent symbol- og terminologiliste

OPPGAVE 1

a) Deriver funksjonene gitt ved

<math>f(x)=(x^3-1)(x^3+1)</math>
<math>g(x)=\frac{6x^2}{x^3+1}</math>
<math>h(x)=\sqrt{x^2+2x}</math>

b) Bestem grenseverdiene dersom de eksisterer

<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x}{3x^2-1}</math>
<math>\lim_{x\to1}\frac{x^4-x^3+2x-2}{x-1}</math>

c)

Skriv så enkelt som mulig:

<math>\left(3^{\frac16}\right)^2:\left(3^{\frac13}\right)^4</math>

d)

Løs likningen

<math>-6\sin^2x-\sin x+1=0,\qquad x\in\langle0^\circ,360^\circ\rangle</math>

e)

Bestem de verdiene av <math>x</math> som passer i likningen

OPPGAVE 2

I trekanten <math>ABC</math> kalles de motstående sidene til hjørnene <math>A</math>, <math>B</math> og <math>C</math> for henholdsvis <math>a</math>, <math>b</math> og <math>c</math>.

a)

Vis at

(cosinussetningen).

Denne setningen kalles også den utvidede pytagoreiske læresetning.

Forklar kort hvorfor det er naturlig å bruke denne betegnelsen.

I trekanten <math>ABC</math> er

<math>AB=4,2\ \text{cm},\qquad AC=7,1\ \text{cm},\qquad \angle A=70,0^\circ.</math>

b)

Bestem <math>BC</math>, <math>\angle B</math> og <math>\angle C</math>.

Halveringslinja for <math>\angle C</math> skjærer <math>AB</math> i <math>D</math>.

c)

Bestem <math>CD</math>.

OPPGAVE 3

Funksjonen <math>f</math> er gitt ved

<math>

f(x)= \begin{cases} -x^2+4x-\frac52, & \text{når } x\ge1,\\[1ex] \dfrac{x^2}{x+1}, & \text{når } x<1,\; x\neq-1. \end{cases} </math>

a)

Bestem nullpunktene til funksjonen.

b)

Undersøk om <math>f</math> er kontinuerlig for <math>x=1</math>.

c)

Regn ut <math>f'(x)</math>.

Undersøk om <math>f</math> er deriverbar for <math>x=1</math>.

d)

Bestem koordinatene til eventuelle topp- eller bunnpunkt på grafen til <math>f</math>.

e)

Bestem likningene til asymptotene til grafen.

Tegn grafen til <math>f</math> med asymptoter på millimeterpapir.

Bruk 1 cm som enhet på begge aksene.

f)

Regn ut arealet av det flatestykket som ligger over den rette linja

og er avgrenset av denne linja og grafen til <math>f</math>.

OPPGAVE 4

a)

I et koordinatsystem med origo <math>O</math> har vi gitt punktene

<math>A(4,1)</math> og <math>B(2,4)</math>.

Bestem den eksakte (nøyaktige) verdien til

<math>|\overrightarrow{OA}|,\ |\overrightarrow{OB}|</math>

og

<math>\cos\angle AOB.</math>

Finn også den eksakte verdien til

<math>\sin\angle AOB</math>

og bruk dette til å finne den eksakte verdien til arealet av trekanten <math>OAB</math>.

b)

I et koordinatsystem med origo <math>O</math> er punktene <math>P(a,b)</math> og <math>Q(c,d)</math> gitt.

Vis at

<math>\overrightarrow{OR}=[-b,a]</math>

er vinkelrett på

<math>\overrightarrow{OP}</math>

og at

<math>|\overrightarrow{OR}|=|\overrightarrow{OP}|.</math>

Arealet av trekanten <math>OPQ</math> kan finnes ut fra formelen

<math>T=\frac12\left|\overrightarrow{OR}\cdot\overrightarrow{OQ}\right|.</math>

Vis at

c)

I et koordinatsystem med origo <math>O</math> er punktene

<math>A(4,1),\ B(2,4)</math> og <math>C(1,3)</math> gitt.

Tegn figur.

Bruk formel (*) fra del b) til å regne ut arealene av trekantene <math>OAB</math>, <math>OBC</math> og <math>OCA</math>.

Bruk dette til å finne arealet av trekanten <math>ABC</math>.

d)

Metoden som er antydet i c), kan utvides til å regne ut areal av vilkårlige mangekanter, som for eksempel arealet av ei tomt.

Figuren nedenfor viser ei femkantet boligtomt.

Hjørnene <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> og <math>E</math> har koordinater som gitt i tabellen.

Regn ut arealet av tomta.

Punkt	<math>x</math> (meter)	<math>y</math> (meter)
A	13,9	3,4
B	43,2	22,8
C	43,2	39,2
D	4,0	42,8
E	6,8	5,4

2MN-300588

Innhold