2MX-310502
LÆRINGSSENTERET
Matematikk 2MX
AA6514
Elever og privatister
31. mai 2002
Bokmål
Videregående kurs I
Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag
Les opplysningene på neste side.
EKSAMEN
- Eksamenstid
5 timer
- Antall sider
Oppgavesettet har 6 tekstsider medregnet forsiden.
- Antall vedlegg
Ingen
- Vedlegg som skal leveres inn sammen med besvarelsen
Ingen
- Andre opplysninger
På første side av svararket skal du skrive navn og type på den lommeregneren du har brukt på eksamen.
Framgangsmåte og forklaring
Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåter og hjelpemidler.
Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.
Før inn nødvendig mellomregning. Skriv forklaring der dette er påkrevd for å vise hva du har gjort.
Ved åpne oppgaveformuleringer bør du begrunne hvorfor du har valgt din tolkning av oppgaven og ditt valg av løsningsstrategi. Husk å oppgi eventuelle kilder.
Grafer og bruk av grafisk lommeregner
Oppgi de lommeregnerfunksjonene du har brukt. Det er ikke nødvendig å oppgi alle tastetrykkene.
Husk å skrive målestokk og enheter på aksene når du tegner grafer i besvarelsen.
Du trenger ikke føre inn tabell over utregnede funksjonsverdier dersom det ikke er spurt spesielt etter det i oppgaven.
Ved grafisk løsning på lommeregner er det tilstrekkelig at du skisserer kurvens form i besvarelsen. På skissen skal svaret markeres tydelig.
Vurdering
Karakteren fastsettes etter en helhetlig vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du
- viser grunnleggende ferdigheter
- kan bruke hjelpemidler
- gjennomfører logiske resonnementer
- ser sammenhenger i faget og er oppfinnsom, og kan anvende fagkunnskap i nye situasjoner
- vurderer om svar er rimelige
- forklarer framgangsmåter og begrunner svar
- skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
OPPGAVE 1
I hele oppgave 1 skal du på hvert delspørsmål velge mellom alternativ I og alternativ II.
Du skal bare regne ett av alternativene, og alternativ II gir om lag dobbelt så stor uttelling som alternativ I.
a)
I
Tegn to vektorer, <math>\vec a</math> og <math>\vec b</math>, som er slik at
- <math>|\vec a|=2,\qquad |\vec b|=4</math>
og vinkelen mellom <math>\vec a</math> og <math>\vec b</math> er lik <math>45^\circ</math>.
Vis på en figur hvordan du kan tegne
- <math>2\vec a+\vec b</math>
II
Vi har to vektorer, <math>\vec a</math> og <math>\vec b</math>, der
- <math>|\vec a|=2,\qquad |\vec b|=6</math>
og vinkelen mellom <math>\vec a</math> og <math>\vec b</math> er lik <math>60^\circ</math>.
- Vis på en figur hvordan du kan dekomponere <math>\vec b</math> med én komponent parallell med <math>\vec a</math> og én komponent vinkelrett på <math>\vec a</math>.
- Vis at komponenten til <math>\vec b</math> parallell med <math>\vec a</math> er lik
- <math>\frac32\vec a.</math>
b)
I
Det skal legges et 5 cm tykt gruslag på en plass.
Plassen har form som en trekant.
To av sidene er 20 m og 15 m lange, og vinkelen mellom dem er <math>60^\circ</math>.
Hvor mye grus går med?
II
En hustomt har form som vist på figuren.
Bestem arealet av tomten.
c)
I
1 000 kr settes i banken til <math>5,5\,\%</math> rente per år.
Finn ved regning hvor lang tid det tar før beløpet er fordoblet.
II
En bank har følgende tilbud:
Lønnskonto med 2 % rente per år og sparekonto med 7 % rente per år.
La oss tenke oss at vi setter inn 3 000 kr på hver av de to kontoene.
Finn ved regning hvor lang tid det tar før kapitalen på sparekontoen er det dobbelte av kapitalen på lønnskontoen.
d)
I
Tverrsnittet av en veitunnel er begrenset av grafen til funksjonen
- <math>f(x)=-0,15x^2+6,6</math>
<math>x</math>-aksen og linjene <math>x=-5</math> og <math>x=5</math>, der <math>x</math> og <math>f(x)</math> er målt i meter.
Tunnelen er rett og 300 m lang.
Hvor mange kubikkmeter fast fjell er skutt ut når tunnelen er ferdig?
II
En bedrift antar at omsetningen følger modellen
- <math>f(t)=10\cdot1,08^t,</math>
der <math>f(t)</math> er omsetningen i millioner kroner per år og <math>t</math> er antall år etter 2000.
Finn ved regning den samlede omsetningen de 10 første årene ved å regne ut et integral.
OPPGAVE 2
En fabrikk lager kasser uten lokk av kvadratiske papplater med side 60 cm.
En maskin skjærer vekk hjørnene av papplatene. En annen maskin bretter opp sideflatene og fester dem.
Vi regner med at sideflatene ikke overlapper hverandre.
a)
Forklar at volumet av pappkassene, målt i cm³, er gitt ved
- <math>V(x)=x(60-2x)^2.</math>
b)
Tegn grafen til <math>V</math>.
c)
Hvor mye må maskinen skjære bort av hjørnene for at pappkassene skal inneholde <math>10\ \mathrm{dm}^3</math>?
d)
Finn <math>V'(x)</math>.
e)
Finn ved regning hvor mye som må skjæres vekk for at volumet av pappkassene skal bli størst mulig.
Hvor stort er volumet da?
OPPGAVE 3
Den årlige Abelkonkurransen i matematikk består av 20 oppgaver. Hver oppgave har 5 svaralternativer.
Anita har et blankt på 8 av oppgavene. Hun velger å tippe svarene på disse oppgavene.
a)
Forklar at besvarelsen av de 8 oppgavene kan oppfattes som et binomisk forsøk.
b)
Hva er sannsynligheten for at hun tipper rett på akkurat 3 av de 8 oppgavene?
c)
Hva er sannsynligheten for at hun tipper rett på minst 3 av de 8 oppgavene?
Nina strever også med 8 oppgaver. Hun kan utelukke 2 av svaralternativene på 7 av dem.
d)
Hva er sannsynligheten for at hun tipper rett på akkurat 3 av de 8 oppgavene?
OPPGAVE 4
Oppgaven tar utgangspunkt i «To berømte kurver» i forberedelsesdelen.
«Heksa til Agnesi»
<math>x=at,\qquad y=\frac{a}{1+t^2}</math>
der <math>a</math> er en konstant.
Diokeles' cissoide
<math>x=\frac{2as^2}{1+s^2},\qquad y=\frac{2as^3}{1+s^2}</math>
der <math>a</math> er en konstant.
a)
Skisser kurvene «Heksa til Agnesi» og Diokeles' cissoide for <math>a</math>-verdiene <math>-2</math>, <math>-1</math>, <math>1</math> og <math>2</math>.
b)
Gjør rede for skjæringene med koordinataksene.
c)
Finn grafisk skjæringspunktet mellom kurvene «Heksa til Agnesi» og Diokeles' cissoide i 1. kvadrant når <math>a=1</math>.
d)
Finn en likning for kurven til Agnesi, der <math>y</math> er uttrykt ved <math>x</math> og <math>a</math>.
Parameterformen gir oss en anledning til å endre kurvens plassering i koordinatsystemet ved å eksperimentere med fortegn, eventuelt kombinert med å bytte om uttrykkene for <math>x</math> og <math>y</math>.
e)
Eksperimenter med «Heksa til Agnesi» når <math>a=1</math>. Forklar hvordan du går fram, og skisser figurene du får.
f)
Finn en likning som viser sammenhengen mellom <math>x</math>, <math>y</math> og <math>a</math> for Diokeles' cissoide.