3MN-140691
RÅDET FOR VIDEREGÅANDE OPPLÆRING
Studieretning for allmenne fag
EKSAMEN VÅREN 1991
Kode AF 3066
14. juni
MATEMATIKK 3MN
Nynorsk tekst
- Eksamenstid
5 timar
- Hjelpemiddel
Lommereknar
Symbol- og terminologiliste med formelsamling, gitt ut av RVO.
OPPGÅVE 1
a) Deriver funksjonane gitt ved
- <math>f(x)=\sin(2x-\pi)</math>
- <math>f(x)=\ln(x^2+3x)</math>
b)
Løys likninga
- <math>2\tan^2x+3\tan x-2=0,\qquad x\in[0,2\pi\rangle</math>
c)
- Vis at
- <math>(\tan x)'=1+\tan^2x</math>
- Rekn ut integralet
- <math>\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{1+\tan^2x}{\tan x}\,dx</math>
d)
- Kva er samanhengen mellom logaritmefunksjonen <math>\ln x</math> og eksponentialfunksjonen <math>e^x</math>?
- Skriv så enkelt som mogleg utan bruk av lommereknar.
- <math>\ln\!\left(\sqrt[3]{e}\right)</math>
- <math>e^{\ln\left(\frac23\right)}</math>
e)
Ei kurve <math>k</math> er gitt ved parameterframstillinga
- <math>x=2t</math>
- <math>y=2t+t^2</math>
der <math>t\in\mathbb R</math>.
- Bestem skjeringspunkta mellom <math>k</math> og førsteaksen.
- Rekn ut arealet av det flatestykket som er avgrensa av <math>k</math> og ei rett linje gjennom kurvepunkta som svarer til <math>t=-1</math> og <math>t=1</math>.
OPPGÅVE 2
Vi har undersøkt fart og rørsleretning for sjøvatnet ved utløpet av ein fjord på eit bestemt tidspunkt. På djupna <math>x</math> meter under overflata har vatnet farten <math>f(x)</math> meter per sekund, der funksjonen <math>f</math> med god tilnærming er gitt ved
- <math>f(x)=e^{-0,06x}\cos(0,1x),\qquad D_f=[0,47]</math>
Når <math>f(x)</math> er positiv, går vatnet ut av fjorden, og når <math>f(x)</math> er negativ, går det inn.
a)
Vis at <math>f(10)=0,30</math>.
Rekn ut farten som sjøvatnet har på djupna <math>30</math> m.
b)
På kva djupner er farta lik null?
Gi svara i næraste heile meter.
c)
Vis at
- <math>f'(x)=-0,1\cdot e^{-0,06x}\left[\sin(0,1x)+0,6\cos(0,1x)\right]</math>
Bestem dei djupnene der vatnet har størst fart ut av og der det har størst fart inn i fjorden.
Finn farten i begge tilfella.
d)
Teikn grafen til <math>f</math>.
La 1 cm på førsteaksen svare til 5 m og 1 cm på andreaksen svare til 0,1 m/s.
Dersom <math>f(x)</math> ikkje skiftar forteikn i intervallet <math>[a,b]</math>, vil integralet
- <math>\int_a^b f(x)\,dx</math>
fortelje kor mange kubikkmeter vatn per sekund som passerer ein meter breidd av fjorden mellom djupnene <math>x=a</math> og <math>x=b</math>.
e)
Vurder, utan å rekne ut integral, om det går mest vatn ut av eller inn i fjorden ved det tidspunktet vi ser på.
Grunngi svaret.
OPPGÅVE 3
I eit koordinatsystem med origo <math>O</math> har vi gitt punkta
- <math>A(4,3,1),\quad B(2,2,0)\quad\text{og}\quad C(1,2,-2).</math>
a)
Bestem ei parameterframstilling for den rette linja <math>l</math> gjennom punkta <math>B</math> og <math>C</math>.
b)
Finn koordinatane til skjeringspunktet mellom <math>l</math> og <math>yz</math>-planet.
Rekn ut vinkelen mellom <math>l</math> og <math>yz</math>-planet.
c)
Ei av grunnsetningane i romgeometrien lyder:
"Eit plan er eintydig bestemt av tre ulike punkt i planet når desse ikkje ligg på ei rett linje."
Nytt dette til å vise at punkta <math>A</math>, <math>B</math> og <math>C</math> eintydig bestemmer eit plan <math>\alpha</math>.
Finn ei likning for planet.
d)
Regn ut arealet av trekanten <math>ABC</math>.
Punktet <math>T</math> har koordinatane <math>(3,3,5)</math>.
e)
Rekn ut volumet av pyramiden <math>ABCT</math>.
Trekanten <math>ABC</math> er grunnflate i pyramidene <math>ABCT</math> og <math>ABCU</math>. Volumet av <math>ABCT</math> er halvparten av volumet av <math>ABCU</math>. Linja <math>TU</math> står normalt på grunnflata <math>ABC</math>.
f)
Bestem koordinatane til punktet <math>U</math>.
OPPGÅVE 4
a)
Funksjonen <math>f</math> er gitt ved
- <math>f(x)=x-\ln(x+1),\qquad D_f=\langle-1,\rightarrow\rangle</math>
Bestem <math>f'(x)</math>.
Drøft monotonieigenskapane til <math>f</math>, og vis at <math>f(x)>0</math> når <math>x\neq0</math>.
b)
Funksjonen <math>g</math> er gitt ved
- <math>g(x)=\ln(x+1)-\frac{x}{x+1},\qquad D_g=\langle-1,\rightarrow\rangle</math>
Vis at <math>g(x)>0</math> når <math>x\neq0</math>.
c)
Nytt resultata frå a) og b) til å bevise at
- <math>\frac{x}{x+1}<\ln(x+1)<x</math>
for
- <math>x\in\langle-1,0\rangle\cup\langle0,\rightarrow\rangle.</math>
d)
Bestem grenseverdien
- <math>\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}</math>