3MN-160692

SEKRETARIATET FOR VIDEREGÅENDE OPPLÆRING

Studieretning for allmenne fag

EKSAMEN VÅREN 1992

Kode AF 4571

16. juni

MATEMATIKK 3MN

Bokmålstekst

Eksamenstid

5 timer

Hjelpemidler

Lommeregner

Symbol- og terminologiliste med formelsamling, utgitt av RVO.

---

OPPGAVE 1

a) Deriver funksjonene gitt ved

1. <math>f(x)=\frac{x}{\ln x}</math>
2. <math>g(x)=e^{x+\ln x}</math>

b)

I en aritmetisk rekke er det andre leddet

<math>a_2=\frac13</math>

og det femte

<math>a_5=\frac73.</math>

Bestem summen av de 60 første leddene i rekken.

c) Løs likningene

1. <math>e^{2x}=6-e^x</math>
2. <math>(\ln x)^3-3\ln(x^3)=0</math>

d) Bestem grenseverdiene

1. <math>\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{3x}</math>
2. <math>\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\tan3x}{\tan x}</math>

---

OPPGAVE 2

En pyramide <math>ABCT</math> er plassert i et koordinatsystem.

Grunnflata <math>ABC</math> ligger i <math>xy</math>-planet, og sidekanten <math>AT</math> står normalt på grunnflata.

Hjørnet <math>A</math> ligger i origo, <math>B</math> på den positive førsteaksen, og <math>C</math> har positive første- og andreakoordinater.

Siden <math>AB=4</math>, <math>\angle BAC=30^\circ</math> og <math>\angle ACB=90^\circ</math>. Høyden i pyramiden er lik <math>6</math>.

a)

Skriv koordinatene til <math>T</math>.

Vis at <math>C</math> får koordinatene <math>(3,\sqrt3,0)</math>.

b)

Bestem en parameterframstilling for linja <math>l</math> gjennom <math>C</math> og <math>T</math>.

c)

Finn en likning for planet gjennom sideflata <math>ACT</math>.

Bestem vinkelen mellom sideflatene <math>BCT</math> og <math>ACT</math>.

d)

Regn ut volumet og overflata av pyramiden <math>ABCT</math>.

En kule med sentrum <math>S</math> er plassert inne i pyramiden slik at kula tangerer alle fire sideflatene.

e)

Bestem radien i kula.

---

OPPGAVE 3

a)

I <math>1982</math> var den totale produksjonen av naturgass på norske gassfelt <math>2,5\cdot10^9</math> m³, og i <math>1989</math> var den <math>32,0\cdot10^9</math> m³.

Beregn den gjennomsnittlige prosentvise økningen i produksjonen per år fra <math>1982</math> til <math>1989</math>.

b)

De totale reservene av naturgass på norske felt ble ved utgangen av <math>1989</math> beregnet til <math>1,59\cdot10^{12}</math> m³.

Vi vil nå se på to modeller for produksjonen av naturgass på norsk felt.

MODELL 1:

Produksjonen holdes konstant på 1989-nivået hvert år framover.

MODELL 2:

Produksjonen vokser med <math>3,3\,\%</math> hvert år etter 1989.

1. Undersøk hvor lang tid det vil ta før alle reservene av naturgass på norske felt er brukt opp hvis produksjonen innrettes etter modell 1.
2. Hvor lang tid tar det å tømme reservene hvis modell 2 legges til grunn?

c)

Nye undersøkelser og ny utvinningsteknologi har vist at energireservene er større enn tidligere beregnet. Vi antar nå at de totale reservene av naturgass på norske felt er tre ganger så store som beregnet i 1989.

Det er blitt hevdet at gassreservene nå vil vare tre ganger så lenge som tidligere beregnet. Vurder denne påstanden på bakgrunn av hver av de to modellene i punkt b) ovenfor.

---

OPPGAVE 4

a)

Funksjonen <math>h</math> er gitt ved

<math>h(x)=\frac{\cos x}{\sin x},\qquad x\neq n\pi,\; n\in\mathbb Z</math>

Denne funksjonen kalles cotangens og skrives

<math>h(x)=\operatorname{cotan}x</math>

1. Bestem den eksakte verdien til

<math>\operatorname{cotan}\frac{\pi}{6}</math>

og til

<math>\operatorname{cotan}\frac{\pi}{4}</math>

1. Vis ved derivasjon at

<math>\int\frac1{\sin^2x}\,dx=-\operatorname{cotan}x+C</math>

b)

Regn ut integralet

<math>\int\frac{\cos x}{\sin^2x}\,dx</math>

c)

Funksjonen <math>f</math> er gitt ved

<math>f(x)=\frac{2-\cos x}{\sin x}, \qquad x\in\langle-\pi,0\rangle\cup\langle0,\pi\rangle</math>

1. Undersøk om grafen til <math>f</math> er symmetrisk om origo.

Bestem likningene til asymptotene til grafen.

1. Vis at

<math>f'(x)=\frac{1-2\cos x}{\sin^2x}</math>

Finn eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til <math>f</math>.

1. Tegn grafen til <math>f</math>. Bruk 1 cm som enhet på begge aksene.

1. La <math>a</math> være et vilkårlig reelt tall. Bruk grafen til å avgjøre om det alltid finnes to tangenter til grafen til <math>f</math> med stigningstall lik <math>a</math>.

1. Førsteaksen, grafen til <math>f</math> og de to linjene

<math>x=\frac{\pi}{4}</math>

og

<math>x=\frac{3\pi}{4}</math>

avgrenser et flatestykke.

Dette flatestykket roterer <math>360^\circ</math> om førsteaksen.

Regn ut volumet av det omdreiningslegemet vi da får.

Før nødvendig mellomregning.